四川专版高考数学二轮复习 专题七 导数及其应用练习 理Word文档格式.docx
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4.函数f(x)=x2-lnx的最小值为( )
A.B.1
C.-2D.3
5.曲线y=lnx-1在x=1处的切线方程为____________.
提升训练强能力
6.若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=( )
A.1B.
C.0D.-1
7.函数f(x)=xcosx的导函数f′(x)在区间[-π,π]上的图像大致是( )
A B
C D
图71
8.定义域为R的函数f(x),满足f(0)=1,f′(x)<f(x)+1,则不等式f(x)+1<2ex的解集为( )
A.{x∈R|x>
1}
B.{x∈R|0<x<1}
C.{x∈R|x<0}
D.{x∈R|x>0}
9.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在区间[-1,1]上是减函数,则a的取值范围是( )
A.0<a<
B.<a<
C.a≥
D.0<a<
10.方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=cosx的“新驻点”分别为α,β,γ,那么α,β,γ的大小关系是( )
A.α<
β<
γ
B.α<
γ<
β
C.γ<
α<
β
D.β<
γ
11.设1<x<2,则,,的大小关系是( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
12.函数f(x)=2lnx+x2在点x=1处的切线方程是________.
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f
(1)=0,f′
(1)=0,但x=1不是函数f(x)的极值点,则abc的值为________.
14.已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.
15.已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)函数F(x)=f(x)-xlnx在定义域内是否存在零点?
若存在,请指出有几个零点;
若不存在,请说明理由.
(3)若g(x)=ln(ex-1)-lnx,当x∈(0,+∞)时,不等式f(g(x))<f(x)恒成立,求a的取值范围.
16.已知函数f(x)=ex-x2e|x|.
(1)若f(x)在[0,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)证明:
当a≥1时,不等式f(x)≤x+1对x∈R恒成立;
(3)对于在(0,1)中的任一个常数a,试探究是否存在x0>
0,使得f(x0)>
x0+1成立?
如果存在,请求出符合条件的一个x0;
如果不存在,请说明理由.
专题限时集训(七)B
[导数及其应用]
10分钟+35分钟)
1.已知函数f(x)=x-lnx-1.
(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;
(2)若x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax-2恒成立,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=x2-3x+alnx(a>0).
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)设函数f(x)图像上任意一点处的切线l的斜率为k,当k的最小值为1时,求此时切线l的方程.
3.设函数f(x)=p-2lnx,g(x)=(p>
1,e是自然对数的底数).
(1)若对任意x∈[2,e],不等式f(x)>
g(x)恒成立,求p的取值范围;
(2)若对任意x1∈[2,e],总存在x2∈[2,e],使不等式f(x1)>
g(x2)成立,求p的取值范围.
4.已知函数f(x)=.
(1)若函数f(x)在区间内有极值,求实数a的取值范围;
(2)当x≥1时,不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围;
(3)求证:
[(n+1)!
]2>(n+1)en-2+.(n∈N*,e为自然对数的底数)
5.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,g(x)=ex-x+1.(a为常数,e为自然对数的底数)
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间上无零点,求a的最小值;
(3)若对任意给定的x0∈(0,1],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
专题限时集训(七)A
【基础演练】
1.B [解析]f′(x)=2x+2f′
(1),令x=1,得f′
(1)=2+2f′
(1),即f′
(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
2.A [解析]∵y′=,∴k===tanα,又0≤α<π,故α=.
3.D [解析]设切点为P0(a,b),f′(x)=3x2+1,则切线的斜率k=f′(a)=3a2+1=4,所以a=±
1.当a=-1时,b=-4;
当a=1时,b=0.所以P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.A [解析]令f′(x)=x-==0,得x=1.∴当x∈(0,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.∴函数f(x)在x=1处取得最小值,且最小值为f
(1)=-ln1=.
5.x-y-2=0 [解析]易知切点的坐标为(1,-1),又y′=,∴切线的斜率为1,∴所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.
【提升训练】
6.B [解析]y′=2ax-,由题意可知,当x=1时,y′|x=1=2a-1=0,得a=.
7.A [解析]f′(x)=cosx-xsinx,则该导函数为偶函数,且f′(0)=1,f′(π)=-1,易知A选项符合题意.
8.D [解析]构造函数g(x)=⇒g′(x)=,
由已知f′(x)<f(x)+1⇒g′(x)<0,故g(x)在R上为减函数,而g(0)=2,不等式f(x)+1<2ex化为g(x)<g(0)⇒x>0,故选D.
9.C [解析]因为f(x)=(x2-2ax)ex,所以f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex.因为f(x)在区间[-1,1]上是减函数,所以f′(x)=[x2+(2-2a)x-2a]ex≤0在区间[-1,1]上恒成立且不恒为0,即x2+(2-2a)x-2a≤0在区间[-1,1]上恒成立且不恒为0,所以解得a≥.又当a=时,x2+(2-2a)x-2a不恒为0,所以a的取值范围是.
10.D [解析]g′(x)=1,令g(x)=g′(x),则α=1.h′(x)=,令h(x)=h′(x),结合图像(图略)可知,β<
1.φ′(x)=-sinx,令φ(x)=φ′(x),∴γ=>
2.∴β<
γ.
11.A [解析]令f(x)=x-lnx(1<x<2),则f′(x)=1-=>0,所以函数y=f(x)(1<x<2)为增函数,∴f(x)>f
(1)=1>0,
∴x>lnx>0⇒0<<1,∴<.又-==>
0,∴<<,选A.
12.4x-y-3=0 [解析]易知切点的坐标为(1,1),又f′(x)=+2x,∴切线的斜率为f′
(1)=4,故所求切线的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
13.9 [解析]由f
(1)=0,得1+a+b+c=0①,由f′(x)=3x2+2ax+b,f′
(1)=3+2a+b=0②,而x=1不是函数的极值点,所以Δ=(-2a)2-4×
3×
b=4a2-12b=0③,综合①②③解得a=-3,b=3,c=-1,所以abc=9.
14.解:
(1)∵f(x)=lnx-ax2+(a-2)x,∴函数的定义域为(0,+∞).
∴f′(x)=-2ax+(a-2)==.
∵f(x)在x=1处取得极值,即f′
(1)=-(2-1)(a+1)=0,∴a=-1.
当a=-1时,在内f′(x)<0,在(1,+∞)内f′(x)>0,
∴x=1是函数y=f(x)的极小值点.∴a=-1.
(2)∵a2<a,∴0<a<1.f′(x)=-2ax+(a-2)==-,
∵x∈(0,+∞),∴ax+1>0,∴f(x)在上递增;
在上递减,
①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上单调递增,∴f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;
②当即<a<时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,
∴f(x)max=f=-ln2-+=-1-ln2;
③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上单调递减,
∴f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.
15.解:
(1)由f(x)=ex-ax-1,得f′(x)=ex-a.
当a≤0时,对∀x∈R,有f′(x)>0,所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,由f′(x)>0,得x>lna;
由f′(x)<0,得x<lna,
此时函数f(x)的单调增区间为(lna,+∞),单调减区间为(-∞,lna).
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调增区间为(lna,+∞),单调减区间为(-∞,lna).
(2)函数F(x)=f(x)-xlnx的定义域为(0,+∞),由F(x)=0,得a=-lnx(x>0),
令h(x)=-lnx(x>0),则h′(x)=,
由于x>0,ex-1>0,可知当x>1时,h′(x)>0;
当0<x<1时,h′(x)<0,
故函数h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故h(x)≥h
(1)=e-1.
(随着x>0的增长,y=ex-1的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=x的增长速度,而y=lnx的增长速度则会越来越慢.则当x>0且x无限接近于0时,h(x)趋向于正无穷大.)
故当a>e-1时,函数F(x)有两个不同的零点;
当a=e-1时,函数F(x)有且仅有一个零点;
当a<e-1时,函数F(x)没有零点.
(3)由
(1)知当a=1时,对∀x>0,有f(x)>f(lna)=0,即ex-1>x,
当x>0时,ex-1>x,故对∀x>0,g(x)>0,先用分析法证明:
∀x>0,g(x)<x.
要证对∀x>0,g(x)<x,只需证对∀x>0,<ex,即证对∀x>0,xex-ex+1>0,
构造函数H(x)=xex-ex+1(x>0),则H′(x)=xex>0,
故函数H(x)在(0,+∞)上单调递增,所以H(x)>H(0)=0,则对∀x>0,xex-ex+1>0成立.
当a≤1时,由
(1)知,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(g(x))<f(x)在(0,+∞)上恒成立;
当a>1时,由
(1)知,函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(0,lna)上单调递减,
故当0<x<lna时,0<g(x)<x<lna,所以f(g(x))>f(x),则不满足题意.
所以满足题意的a的取值范围是(-∞,1].
16.解:
(1)∵x∈[0,+∞),∴f(x)=ex,
∴f′(x)=ex.
由题意,f′(x)≥0在[0
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