届高三数学一轮复习第四章三角函数与三角形46Word文档下载推荐.docx
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A,∴B=45°
.
(理)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,A=,a=,b=1,则c=( )
A.1B.2
C.-1D.
[解析] ∵bsinA=<
1<
,∴本题只有一解.
∵a=,b=1,A=,
∴根据余弦定理,cosA===,
解之得,c=2或-1,
∵c>
0,∴c=2.故选B.
3.在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a=2,b=2,且三角形有两解,则角A的取值范围是( )
A.B.
C.D.
[答案] A
[解析] 由条件知bsinA<
a,即2sinA<
2,∴sinA<
,
∵a<
b,∴A<
B,∴A为锐角,∴0<
A<
[点评] 如图,AC=2,以C为圆心2为半径作⊙C,则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC,当AB与⊙C相切时,AB=2,∠BAC=,当AB与⊙C相交时,∠BAC<
,因为三角形有两解,所以直线AB与⊙C应相交,∴0<
∠BAC<
4.(2010·
湖南理)在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C=120°
,c=a,则( )
A.a>bB.a<b
C.a=bD.a与b的大小关系不能确定
[解析] ∵∠C=120°
,c=a,c2=a2+b2-2abcosC
∴a2-b2=ab,
又∵a>
0,b>
0,∴a-b=>
0,所以a>
b.
5.(文)(2010·
天津理)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( )
B.60°
C.120°
D.150°
[解析] 由余弦定理得:
cosA=,
∵sinC=2sinB,∴c=2b,∴c2=2bc,
又∵b2-a2=-bc,∴cosA=,
又A∈(0°
,180°
),∴A=30°
,故选A.
(理)(2010·
山东济南)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为( )
C.或D.或
[答案] D
[解析] 由(a2+c2-b2)tanB=ac得,·
tanB=,再由余弦定理cosB=得,2cosB·
tanB=,即sinB=,∴角B的值为或,故应选D.
6.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°
,△ABC的面积为0.5,那么b为( )
A.1+B.3+
C.D.2+
[答案] C
[解析] acsinB=,∴ac=2,
又2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4,
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,b=.
7.(2010·
厦门市检测)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若角A、B、C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( )
C.D.2
[解析] ∵A、B、C成等差数列,∴B=60°
∵=,∴sinA===,
∴A=30°
或A=150°
(舍去),∴C=90°
∴S△ABC=ab=.
8.(2010·
山师大附中模考)在△ABC中,cos2=(a、b、c分别为角A、B、C的对边),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.正三角形
C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形
[解析] ∵cos2=,∴=,
∴sinCcosB=sinA,
∴sinCcosB=sin(B+C),∴sinBcosC=0,
B,C<
π,∴sinB≠0,cosC=0,∴C=,故选A.
9.(2010·
四川双流县质检)在△ABC中,tanA=,cosB=,若最长边为1,则最短边的长为( )
[解析] 由tanA>
0,cosB>
0知A、B均为锐角,
∵tanA=<
1,∴0<
,cosB=>
∴0<
B<
,∴C为最大角,
由cosB=知,tanB=,∴B<
A,∴b为最短边,
由条件知,sinA=,cosA=,sinB=,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=×
+×
=,
由正弦定理=知,=,∴b=.
10.(2010·
山东烟台)已知非零向量,和满足·
=0,且=,则△ABC为( )
A.等边三角形
B.等腰非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
[解析] ∵=cos∠ACB=,
∴∠ACB=45°
又∵·
=0,
∴∠A=90°
,∴△ABC为等腰直角三角形,故选D.
二、填空题
11.(文)判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________.
①a=1,b=,B=45°
;
②a=,b=,A=30°
③a=6,b=20,A=30°
④a=5,B=60°
,C=45°
[答案] ①④
[解析] ①一解,asinB=<
,有一解.
②两解,b·
sinA=<
<
,有两解;
③无解,b·
sinA=10>
6,无解.
④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定.
(理)在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是________.
[答案] <
c<
[解析] 边c最长时:
cosC==>
0,
∴c2<
5.∴0<
边b最长时:
cosB==>
∴c2>
3.∴c>
综上,<
12.(2010·
上海模拟)在直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-1,0),C(1,0),顶点B在椭圆+=1上,则的值为________.
[答案] 2
[解析] 由题意知△ABC中,AC=2,BA+BC=4,
由正弦定理得==2.
13.(文)(2010·
沈阳模拟)在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若b2+c2=a2+bc,且·
=4,则△ABC的面积等于________.
[解析] ∵b2+c2=a2+bc,∴cosA==,
∵·
=4,∴b·
c·
cosA=4,∴bc=8,
∴S=AC·
ABsinA=×
bc·
sinA=2.
北京延庆县模考)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=c=2b且sinB=,当△ABC的面积为时,b=________.
[解析] ∵a+c=2b,∴a2+c2+2ac=4b2
(1)
∵S△ABC=acsinB=ac=,∴ac=
(2)
∵sinB=,∴cosB=(由a+c=2b知B为锐角),
∴=,∴a2+c2=+b2(3)
由
(1)、
(2)、(3)解得b=2.
14.(2010·
合肥市质检)在△ABC中,=,则角B=________.
[答案]
[解析] 依题意得sin2A-sin2B=sin(A+B)(sinA-sinC)=sinAsinC-sin2C,
由正弦定理知:
a2-b2=ac-c2,
∴a2+c2-b2=ac,
由余弦定理知:
cosB==,
∴B=.
三、解答题
15.(文)(2010·
广州六中)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足cos=,·
=3.
(1)求△ABC的面积;
(2)若b+c=6,求a的值.
[解析]
(1)∵cos=,
∴cosA=2cos2-1=,sinA=.
又由·
=3得,bccosA=3,∴bc=5,
∴S△ABC=bcsinA=2.
(2)∵bc=5,又b+c=6,∴b=5,c=1或b=1,c=5,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=20,∴a=2.
山东滨州)已知A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),且m·
n=sin2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·
(-)=18,求边c的长.
[解析]
(1)m·
n=sinA·
cosB+sinB·
cosA=sin(A+B).
在△ABC中,由于sin(A+B)=sinC.
∴m·
n=sinC.
又∵m·
n=sin2C,
∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC.
又sinC≠0,所以cosC=.而0<
π,因此C=.
(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列得,
2sinC=sinA+sinB,
由正弦定理得,2c=a+b.
(-)=18,∴·
=18.
即abcosC=18,由
(1)知,cosC=,所以ab=36.
由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC
=(a+b)2-3ab.
∴c2=4c2-3×
36,∴c2=36.
∴c=6.
16.(文)在△ABC中,已知AB=,BC=2.
(1)若cosB=-,求sinC的值;
(2)求角C的取值范围.
[解析]
(1)在△ABC中,由余弦定理知,
AC2=AB2+BC2-2AB·
BC·
cosB
=3+4-2×
2×
=9.
所以AC=3.
又因为sinB===,
由正弦定理得=.
所以sinC=sinB=.
(2)在△ABC中,由余弦定理得,
AB2=AC2+BC2-2AC·
BCcosC,
∴3=AC2+4-4AC·
cosC,
即AC2-4cosC·
AC+1=0.
由题意知,关于AC的一元二次方程应该有解,
令Δ=(4cosC)2-4≥0,得cosC≥,或cosC≤-(舍去,因为AB<
BC)
所以,0<
C≤,即角C的取值范围是.
[点评] 1.本题也可用图示法,如图:
A为⊙B上不在直线BC上的任一点,由于r=AB=,故当CA与⊙B相切时∠C最大为,故C∈.
2.高考命题大题的第一题一般比较容易入手,大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制,这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实.
东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosC+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围.
[解析]
(1)由acosC+c=b得
sinAcosC+sinC=sinB
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
∴sinC=cosAsinC,
∵sinC≠0,∴cosA=,
又∵0<
π,∴A=.
(2)解法1:
由正弦定理得:
b==sinB,c=sinC
l=a+b+c=1+(sinB+sinC)
=1+(sinB+sin(A+B))
=1+2=1+2sin
∵A=,∴B∈,∴B
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