高考数学理试题及答案安徽卷文档格式.docx
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(A)[0,1](B)[1,7](C)[7,12](D)[0,1]和[7,12]、
(10)设是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是
(A)(B)
(C)(D)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)命题“对任何”的否定是.
(12)的展开式中,的系数等于.
(13)设满足约束条件若目标函数的最大值为8,则的最小值为.
(14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值.
(15)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红
球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,
分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球
的事件;
再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球
是红球的事件,则下列结论中正确的是 (写出所有正确结
论的编号).
①;
②;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角A,B,C所对边长,并且
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若,求(其中).
(17)(本小题满分12分)
设a为实数,函数
(I)求的单调区间与极值;
(II)求证:
当时,
(18)(本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF,
BF=FC,H为BC的中点.
(I)求证:
FH//平面EDB;
AC⊥平面EDB;
(III)求二面角B—DE—C的大小.
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率
(I)求椭圆E的方程;
(II)求的角平分线所在直线的方程;
(III)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点?
若存在,请找出;
若不存在,说明理由.
(20)(本小题满分12分)
设数列中的每一项都不为0.
证明,为等差数列的充分必要条件是:
对任何,都有
(21)(本小题满分13分)
品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:
拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4,分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(I)写出X的可能值集合;
(II)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列;
(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有,
(i)试按(II)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?
说明理由.
参考答案
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)B
(2)A(3)C(4)A(5)C
(6)D(7)B(8)C(9)D(10)D
(11)存在
(12)15(若只写,也可)
(13)4(14)12(15)②④
本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力.
解:
(I)因为
(II)由可得
①
由(I)知所以
②
由余弦定理知及①代入,得
③+②×
2,得,所以
因此,c,b是一元二次方程的两个根.
解此方程并由
本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
(I)解:
由
令的变化情况如下表:
—
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是,单调递增区间是,
处取得极小值,
极小值为
(II)证:
设
于是
由(I)知当
于是当
而
即
本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
[综合法]
(1)证:
设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,
又H为BC的中点,
∴四边形EFHG为平行四边形,
∴EG//FH,而EG平面EDB,∴FH//平面EDB.
由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,又EF//AB,
∴EF⊥BC.
而EF⊥FB,∵EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,
又FH//BC,∴AC=EG.
又AC⊥BD,EGBD=G,∴AG⊥平面EDB.
(III)解:
EF⊥FB,∠BFC=90°
,∴BF⊥平面CDEF,
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K,
则∠FKB为二面角B—DE—C的一个平面角.
设EF=1,则AB=2,FC=,DE=
又EF//DC,∴∠KEF=∠EDC,∴sin∠EDC=sin∠KEF=
∴FK=EFsin∠KEF=,tan∠FKB=∴∠FKB=60°
∴二面角B—DE—C为60°
.
[向量法]
∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC,又EF//AB,∴EF⊥BC.
又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点,轴正向,轴正向,
建立如图所示坐标系.
设BH=1,则A(1,—2,0),B(1,0,0),
C(—1,0,0),D(—1,—2,0),E(0,—1,1),
F(0,0,1).
(I)证:
设AC与BD的交点为G,连GE,GH,
则
平面EDB,HF不在平面EDB内,∴FH∥平面EBD,
又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
设平面BDE的法向量为
即二面角B—DE—C为60°
本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式,点关于直线的对称等基础知识;
考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.
解:
(I)设椭圆E的方程为
将A(2,3)代入上式,得
∴椭圆E的方程为
(II)解法1:
由(I)知,所以
直线AF1的方程为:
直线AF2的方程为:
由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.
设上任一点,则
若(因其斜率为负,舍去).
所以直线l的方程为:
解法2:
(III)解法1:
假设存在这样的两个不同的点
由于M在l上,故①
又B,C在椭圆上,所以有
两式相减,得
将该式写为,
并将直线BC的斜率和线段BC的中点,表示代入该表达式中,
得②
①×
2—②得,即BC的中点为点A,而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
假设存在,
得一元二次方程
则是该方程的两个根,
由韦达定理得
∴B,C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线
即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.
∴不存在满足题设条件的相异两点.
本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力.
证:
先证必要性
设数列则所述等式显然成立,
若,则
再证充分性.
证法1:
(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立,首先,在等式
①
两端同乘成等差数列,
记公差为
假设时,观察如下二等式
②
,③
将②代入③,得
在该式两端同乘
将
由数学归纳法原理知,对一切
所以的等差数列.
证法2:
[直接证法]依题意有
②—①得
,
在上式两端同乘
同理可得③
③—④得
即是等差数列,
本题考查离散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概括能力、应用与创新意识.
(I)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}.
在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,所以中的奇数个数等于中的偶数个数,因此的奇偶性相同,
从而必为偶数.
X的值非负,且易知其值不大于8.
容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.
(II)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列,计算每种排列下的X值,在等可能的假定下,得到
X
02468
P
(III)(i)首先,将三轮测试都有的概率记做p,由上述结果和独立性假设,得
(ii)由于是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.
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- 高考 学理 试题 答案 安徽