第 1 讲 三角形的初步知识Word文档格式.docx
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④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有()
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能
5.如图,是平面上的6个点,则()
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
6.如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为,且,则_____.
7.
(1)如图1,在锐角△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高线,BD与CE相交于点P,若已知∠A=50°
,∠BPC的度数为多少;
(2)如图2,在钝角△ABC中,BD、CE分别是AC、AB边上的高线,BD与EC的延长线相交于点P,若已知∠A=50°
,则∠BPC的度数为多少;
(3)在△ABC中,若∠A=α,请你探索AB、AC边上的高线(或延长线)相交所成的∠BPC的度数.(用含α的代数式表示)
8.如图,已知在△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点P.
(1)当∠A=70°
时,求∠BPC的度数;
(2)当∠A=112°
(3)当∠A=时,求∠BPC的度数.
【典型例题】
例1如图
(1),△ABC中,AD是角平分线,AE⊥BC于点E.
(1)若∠C=80°
,∠B=50°
,求∠DAE的度数.
(2)若,试说明.
(3)如图
(2)若将点A在AD上移动到A´
处,A´
E⊥BC于点E.此时∠DAE变成∠DA´
E,
则
(2)中的结论还正确吗?
为什么?
解析:
(1)∠DAE=180°
∠ADC∠AED=15°
.
(2)∠DAE=180°
∠ADC∠AED=180°
∠ADC90°
=90°
∠ADC
180°
∠C∠DAC=90°
∠C∠BAC
∠C180°
∠B∠C=(∠C∠B).
(3)
(2)中的结论仍正确.证明过程同
(2).
例2如图,△ABC中,∠A=50°
,点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点.
(1)求∠P的度数;
(2)猜想∠P与∠A有怎样的大小关系?
(3)若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系?
(4)若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点,∠P与∠A又有怎样的大小关系?
简答:
(1)∠BPC=180°
65°
=115°
;
(2)∠BPC=∠A+90°
(3)
∠BPC=90°
∠A;
(4)∠BPC=∠A.
例3如图,AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线.
(1)∠ABE=15°
,∠BAD35°
,求∠BED的度数;
(2)若△ABC的面积为60,BD5,则点E到BC边的距离为多少?
解析:
(1)∵∠BED是△ABE的一个外角,∴∠BED=∠ABE+∠BAD=50°
.
(2)∵AD为△ABC的中线,BE为三角形ABD中线,
∴;
∵BD=5,∴EF==6,即点E到BC边的距离为6.
例4如图,A、B两点同时从原点O出发,点A以每秒x个单位长度向正西方向运动,
点B以每秒y个单位长度向正北方向运动.
(1)若,试分别求出1秒钟后,求OA、OB两点的长度;
(2)设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P,问:
点A、B在运动
的过程中,∠P的大小是否会发生变化?
若不发生变化,请求出其值;
若发生变化,请说明理由;
(3)如图,延长BA至E,在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C,若∠EAC、∠FCA、
∠ABC的平分线相交于点G,过点G作BE的垂线,垂足为H,试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何?
请写出你的结论并说明理由.
(1)解方程组:
,∴OA=1,OB=2;
(2)不发生变化.∠P=180°
∠PAB∠PBA=180°
∠EAB+∠FBA
=180°
∠ABO+90°
+∠BAO+90°
=45°
(3)作GM⊥BF于点M.由已知有:
∠AGH=90°
∠EAC=90°
∠BAC
=∠BAC=∠BGC=∠BGM∠CGM=90°
∠ABC90°
∠ACF=∠ACF-
∠ABC=∠BAC,∴∠AGH=∠BGC.
【独立尝试】
1.已知三角形三条边的长度为,化简:
=.
2.如图,△ABC中,,,是中线,则△ABD与△ACD的周长之差.
3.
第12题
如图,矩形ABCD中,M为CD上一点,若沿着AM折叠,点N恰落在BC上,则∠ANB∠MNC=.
4.在△ABC中,BC=9,AB的垂直平分线交BC与点M,AC的垂直平分线交BC于点N,则△AMN的周长=.
5.在△ABC中,∠ABC=12°
,∠ACB=132°
,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上,则BMCN(填“”).
6.如图,的大小关系是()
A.B.
C.D.
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB是钝角,让点C在射线BD上向右移动,则()
A.△ABC先变成直角三角形,再变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
B.△ABC变成锐角三角形,而不会再是钝角三角形
C.△ABC先变成直角三角形,再变成锐角三角形,接着又变为钝角三角形
D.△ABC先由钝角三角形变为直角三角形,再变为锐角三角形,接着又变为直角三角形,然后再次变为钝角三角形
8.现有若干个三角形,在所有的内角中,有5个直角,3个钝角,25个锐角,则在这些三角形中锐角三角形的个数是()
A.3B.4或5C.6或7D.8
9.已知三角形的三边的长都是整数,且,如果,则这样的三角形共有()
A.21个 B.28个 C.49个 D.54个
10.如图,G是△AFE两外角平分线的交点,P是△ABC的两外角平分线的交点,F,C在AN上,又B,E在AM上;
如果∠FGE=66°
,那么∠P=_度.
11.已知三角形的边长为.
(1)若,试说明三角形的形状;
(2)若,试说明三角形的形状;
(3)说明的符号.
12.如图△ABC,请用不同的分法将△ABC的面积4等分,请你给出不同的方案?
13.
(1)如图1,有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中,∠A=30°
,求∠ABC+∠ACB,∠XBC+∠XCB.
(2)如图2,改变直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化?
若变化,请举例说明;
若不变化,请求出∠ABX+∠ACX的大小.
【拓展提升】
1.△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′,则△A′B′C′( )
A.一定是直角三角形B.一定是钝角三角形
C.一定是锐角三角形D.一定是等腰三角形
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠BAC=30°
,∠ACB
的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点,连接AE,则
∠CEB是.
3.设整数为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
4.探索:
在图1至图3中,已知△ABC的面积为a,
(1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1,求S1(用含a的代数式表示)
(2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC的面积为S2,求S2(用含a的代数式表示)
(3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图3).若阴影部分的面积为S3,求S3(用含a的代数式表示),并运用上述
(2)的结论写出理由.
发现:
像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图3),此时,我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的几倍?
应用:
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把△ABC向外进行两次扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图4).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少m2?
5.将长度为2n(n为自然数,且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角
形,记为三边的长分别为,且满足的一个三角形.
(1)就n=4,5,6的情况,分别写出所有满足题意的.
(2)有人根据
(1)中的结论,猜想:
当铅丝的长度为2n(n为自然数,且n≥4)时,对应的个数一定是,事实上这是一个不正确的猜想.请写出n=12时所有的,并回答的个数.
(3)试将n=12时所有满足题意的,按照至少两种不同的标准进行分类.
【挑战探索】
问题:
已知△ABC中,∠BAC=100°
(1)若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,如图1所示,试求∠BOC的大小;
(2)若∠ABC和∠ACB的三等分线(即将一个角平均分成三等分的射线)相交于O,O1,如图2所示,试求∠BOC的大小;
(3)如此类推,若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O,O1,O2…,如图3所示,试探求∠BOC的大小与n的关系,并判断当∠BOC=170°
时,是几等分线的交线所成的角.
参考答案
【热身训练】
1.B2.A3.C4.C5.B6.2
7.
(1)∠A=50°
,∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°
+90°
=130°
(2)∠BPC=∠A=50°
(3)当∠A=α是锐角时,
①△ABC是锐角三角形时,根据
(1)∠BPC=90°
+(90°
∠A)=180°
α;
②△ABC是钝角三角形时,根据
(2)∠BPC=∠A=α;
当∠A是直角时,∠BPC=90°
,当∠A是钝角时,∠BPC=180°
α.
8.
(1);
时,∠BPC=;
(3)当∠A=时,∠BPC=.
1.2.13.90°
4.9
5.提示:
通过角度计算发现,∠BCM=∠BMC,∠BNC=∠ABC,因此,BM=BC=CN;
6.B7.D8.A9.A10.∠P=∠FGE=66°
11.
(1),得等腰三角
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