立体几何 空间垂直文档格式.docx
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连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,
∵侧面BB1C1C为菱形,
∴BC1⊥B1C,
∵AO⊥平面BB1C1C,
∴AO⊥B1C,
∵AO∩BC1=O,
∴B1C⊥平面ABO,
∵AB⊂平面ABO,
∴B1C⊥AB;
(2)解:
作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H,
∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD,
∴OH⊥BC,
∵OH⊥AD,BC∩AD=D,
∴OH⊥平面ABC,
∵∠CBB1=60°
,
∴△CBB1为等边三角形,
∵BC=1,∴OD=,
∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=,
由OH•AD=OD•OA,可得AD==,∴OH=,
∵O为B1C的中点,
∴B1到平面ABC的距离为,
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.
点评:
本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
2.(2014•北京)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(Ⅰ)求证:
平面ABE⊥B1BCC1;
(Ⅱ)求证:
C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)求三棱锥E﹣ABC的体积.
平面与平面垂直的判定;
棱柱、棱锥、棱台的体积;
直线与平面平行的判定.菁优网版权所有
(Ⅰ)证明AB⊥B1BCC1,可得平面ABE⊥B1BCC1;
(Ⅱ)证明C1F∥平面ABE,只需证明四边形FGEC1为平行四边形,可得C1F∥EG;
(Ⅲ)利用VE﹣ABC=,可求三棱锥E﹣ABC的体积.
(Ⅰ)证明:
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,
∴BB1⊥AB,
∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,
∴AB⊥B1BCC1,
∵AB⊂平面ABE,
∴平面ABE⊥B1BCC1;
(Ⅱ)证明:
取AB中点G,连接EG,FG,则
∵F是BC的中点,
∴FG∥AC,FG=AC,
∵E是A1C1的中点,
∴FG∥EC1,FG=EC1,
∴四边形FGEC1为平行四边形,
∴C1F∥EG,
∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE,
∴C1F∥平面ABE;
(Ⅲ)解:
∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,
∴AB=,
∴VE﹣ABC===
本题考查线面平行、垂直的证明,考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算,正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.
3.(2014•潍坊模拟)如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求证;
AE∥平面BFD;
(Ⅲ)求三棱锥C﹣BGF的体积.
直线与平面垂直的判定;
计算题;
证明题.
(1)先证明AE⊥BC,再证AE⊥BF,由线面垂直的判定定理证明结论.
(2)利用F、G为边长的中点证明FG∥AE,由线面平行的判定定理证明结论.
(3)运用等体积法,先证FG⊥平面BCF,把原来的三棱锥的底换成面BCF,则高就是FG,代入体积公式求三棱锥的体积.
解:
∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE,则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE.(4分)
依题意可知:
G是AC中点,
∵BF⊥平面ACE,则CE⊥BF,而BC=BE,∴F是EC中点.(6分)
在△AEC中,FG∥AE,∴AE∥平面BFD.(8分)
∵AE∥平面BFD,∴AE∥FG,而AE⊥平面BCE,
∴FG⊥平面BCE,∴FG⊥平面BCF,(10分)
∵G是AC中点,∴F是CE中点,且,
∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE.∴Rt△BCE中,.
∴,(12分)∴(14分)
本题考查线面平行与垂直的证明方法,利用等体积法求三棱锥的体积.
4.(2014•江西模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°
,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.
BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)当EM为何值时,AM∥平面BDF?
证明你的结论.
综合题.
(Ⅰ)由已知,若证得AC⊥BC,则据面面垂直的性质定理即可.转化成在平面ABCD,能否有AC⊥BC,易证成立.
(Ⅱ)设AC∩BD=N,则面AMF∩平面BDF=FN,只需AM∥FN即可.而CN:
NA=1:
2.故应有EM:
FM=1:
2
(Ⅰ)在梯形ABCD中,∵AD=DC=CB=a,∠ABC=60°
∴四边形ABCD是等腰梯形,
且∠DCA=∠DAC=30°
,∠DCB=120
∴∠ACB=90,∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD,交线为AC,∴BC⊥平面ACFE.
(Ⅱ)当EM=时,AM∥平面BDF.
在梯形ABCD中,设AC∩BD=N,连接FN,则CN:
2.
∵EM=而EF=AC=,∴EM:
2.∴EM∥CN,EM=CN,
∴四边形ANFM是平行四边形.∴AM∥NF.
又NF⊂平面BDF,AM⊄平面BDF.∴AM∥平面BDF.
本题考查线面位置关系及判定,考查空间想象能力,计算能力,转化能力.
5.(2014•淮南一模)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°
,BC=AD,PA=PD,Q为AD的中点.
AD⊥平面PBQ;
(Ⅱ)若点M在棱PC上,设PM=tMC,试确定t的值,使得PA∥平面BMQ.
数形结合.
(Ⅰ)证明四边形BCDQ为平行四边形,可得CD∥BQ,证得QB⊥AD,由等腰三角形的性质可得PQ⊥AD,从而
证得AD⊥平面PBQ.
(Ⅱ)当t=1时,PA∥平面BMQ,可证四边形BCQA为平行四边形,故N为AC中点,由三角形的中位线的性质
可得MN∥PA,故有PA∥平面BMQ.
证明:
(Ⅰ)AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,
∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°
∴∠AQB=90°
,即QB⊥AD.∵PA=PD,Q为AD的中点,
∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.
(Ⅱ)当t=1时,PA∥平面BMQ.连接AC,交BQ于N,连接MN.
∵BC∥DQ,且BC=DQ,∴四边形BCQA为平行四边形,
且N为AC中点,∵点M是线段PC的中点,∴MN∥PA.
∵MN⊂平面BMQ,PA不在平面BMQ内,∴PA∥平面BMQ.
本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,直线与平面垂直的判定、性质的应用.
6.(2014•海淀区二模)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.
AB⊥平面AA1C1C;
(Ⅱ)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;
(Ⅲ)证明:
EF⊥A1C.
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(I)由线面垂直得A1A⊥AB,再由AB⊥AC,能证明AB⊥面A1CC1.
(II)由AB∥DE,在△ABC中,E是棱BC的中点,推导出D是线段AC的中点.
(III)由已知条件推导出A1C⊥AC1,AB⊥A1C,从而得到A1C⊥面ABC1,由此能证明EF⊥AC1.
(I)证明:
∵AA1⊥底面ABC,∴A1A⊥AB,(2分)
∵AB⊥AC,A1A∩AC=A,
∴AB⊥面A1CC1.(4分)
(II)解:
∵面DEF∥面ABC1,面ABC∩面DEF=DE,
面ABC∩面ABC1=AB,
∴AB∥DE,(7分)
∵在△ABC中,E是棱BC的中点,
∴D是线段AC的中点.(8分)
(III)证明:
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A=AC,
∴侧面A1ACC1是菱形,
∴A1C⊥AC1,(9分)
由(Ⅰ)得AB⊥A1C,
∵AB∩AC1=A,
∴A1C⊥面ABC1,(11分)
∴A1C⊥BC1.(12分)
又∵E,F分别为棱BC,CC1的中点,
∴EF∥BC1,(13分)
∴EF⊥AC1.(14分)
本题考查直线与平面垂直的证明,考查点的位置的确定,考查异面直线垂直的证明,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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