考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第2节 函数的单调性与最值Word文档格式.docx
- 文档编号:15303994
- 上传时间:2022-10-29
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:61.66KB
考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第2节 函数的单调性与最值Word文档格式.docx
《考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第2节 函数的单调性与最值Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第2节 函数的单调性与最值Word文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
条件
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
M为最大值
M为最小值
[微点提醒]
1.函数y=f(x)(f(x)>
0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.
2.“对勾函数”y=x+(a>
0)的单调增区间为(-∞,-),(,+∞);
单调减区间是[-,0),(0,].
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>
0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( )
(2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(3)对于函数y=f(x),若f
(1)<
f(3),则f(x)为增函数.( )
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )
解析
(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)<f
(1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
(3)应对任意的x1<x2,f(x1)<f(x2)成立才可以.
(4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间是R.
答案
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
2.(必修1P39B3改编)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=-xB.y=x2-x
C.y=lnx-xD.y=ex
解析 对于A,y1=在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=-x在(0,+∞)内是减函数;
B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;
选项D中,y=ex在(0,+∞)上是增函数.
答案 A
3.(必修1P31例4改编)函数y=在区间[2,3]上的最大值是________.
解析 函数y=在[2,3]上是减函数,
当x=2时,y=取得最大值=2.
答案 2
4.(2018·
广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
解析 如f(x)=x3,则y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;
则y=|f(x)|在R上无单调性,B错;
则y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.
答案 D
5.(2019·
石家庄调研)若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f
(1)的大小关系是( )
A.f(m)>
f
(1)B.f(m)<
f
(1)
C.f(m)≥f
(1)D.f(m)≤f
(1)
解析 因为f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则m-1>
0,所以m>
1,所以f(m)>
f
(1).
6.(2017·
全国Ⅱ卷)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,1)
C.(1,+∞)D.(4,+∞)
解析 由x2-2x-8>
0,得x>
4或x<
-2.
设t=x2-2x-8,则y=lnt为增函数.
要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间.
∵函数t=x2-2x-8的单调递增区间为(4,+∞),
∴函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1】
(1)(2019·
东北三省四校质检)若函数y=log(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则a的取值范围为( )
A.(-∞,-4)∪[2,+∞)B.(-4,4]
C.[-4,4)D.[-4,4]
解析 令t=x2-ax+3a,则y=logt(t>
0),
易知t=x2-ax+3a在上单调递减,
在上单调递增.
∵y=log(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,
∴t=x2-ax+3a在(2,+∞)上是增函数,且在(2,+∞)上t>
0,
∴2≥,且4-2a+3a≥0,∴a∈[-4,4].
(2)判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1<
a<
3)在x∈[1,2]上的单调性.
解 f(x)在[1,2]上单调递增,证明如下:
设1≤x1<
x2≤2,则f(x2)-f(x1)=ax+-ax-=(x2-x1),
由1≤x1<
x2≤2,得x2-x1>
0,2<
x1+x2<
4,
1<
x1x2<
4,-1<
-<
-.
又因为1<
3,所以2<
a(x1+x2)<
12,
得a(x1+x2)->
从而f(x2)-f(x1)>
0,即f(x2)>
f(x1),
故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.
规律方法 1.
(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如例1
(1).
(2)单调区间不能用集合或不等式表达,且图象不连续的单调区间要用“和”“,”连接.
2.
(1)函数单调性的判断方法有:
①定义法;
②图象法;
③利用已知函数的单调性;
④导数法.
(2)函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
解 法一 设-1<
x1<
x2<
1,
f(x)=a=a,
f(x1)-f(x2)=a-a=,
由于-1<
所以x2-x1>
0,x1-1<
0,x2-1<
故当a>
0时,f(x1)-f(x2)>
0,即f(x1)>
f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<
0时,f(x1)-f(x2)<
即f(x1)<
f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
法二 f′(x)===-.
当a>
0时,f′(x)<
0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
0时,f′(x)>
0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
考点二 求函数的最值
【例2】
(1)已知函数f(x)=ax+logax(a>
0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( )
A.B.C.2D.4
(2)已知函数f(x)=则f[f(-3)]=________,f(x)的最小值是________.
解析
(1)f(x)=ax+logax在[1,2]上是单调函数,
所以f
(1)+f
(2)=loga2+6,
则a+loga1+a2+loga2=loga2+6,
即(a-2)(a+3)=0,又a>
0,所以a=2.
(2)∵f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1,
∴f[f(-3)]=f
(1)=0,
当x≥1时,f(x)=x+-3≥2-3,当且仅当x=时,取等号,此时f(x)min=2-3<
0;
当x<
1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg1=0,当且仅当x=0时,取等号,此时f(x)min=0.
∴f(x)的最小值为2-3.
答案
(1)C
(2)0 2-3
规律方法 求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:
先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法:
先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
【训练2】
(1)(2019·
郑州调研)函数f(x)=-在x∈[1,4]上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值是( )
A.B.2C.D.
(2)(2018·
邵阳质检)定义max{a,b,c,}为a,b,c中的最大值,设M=max{2x,2x-3,6-x},则M的最小值是( )
A.2B.3C.4D.6
解析
(1)易知f(x)=-在[1,4]上是增函数,
∴M=f(x)max=f(4)=2-=,m=f
(1)=0.
因此M-m=.
(2)画出函数M={2x,2x-3,6-x}的图象(如图),由图可知,函数M在A(2,4)处取得最小值22=6-2=4,
故M的最小值为4.
答案
(1)A
(2)C
考点三 函数单调性的应用 多维探究
角度1 利用单调性比较大小
【例3-1】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>
x1>
1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)<
0恒成立,设a=f,b=f
(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>
a>
bB.c>
b>
aC.a>
c>
bD.b>
c
解析 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以a=f=f.
当x2>
1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<
0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>
c.
角度2 求解函数不等式
【例3-2】(2018·
全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则满足f(x+1)<
f(2x)的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
解析 当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.
作出f(x)的大致图象如图所示,结合图象知,要使f(x+1)<f(2x),当且仅当或
解得x<
-1或-1≤x<
0,即x<
0.
角度3 求参数的值或取值范围
【例3-3】已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>
0成立,那么实数a的取值范围是________.
解析 对任意x1≠x2,都有>
所以y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
所以解得≤a<
2.
故实数a的取值范围是.
答案
规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是:
根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
2.
(1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”.
【训练3】
(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考点整合与训练第二章 函数概念与基本初等函数 第2节 函数的单调性与最值 考点 整合 训练 第二 函数 概念 基本 初等 调性
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)