效益的合理分配.doc
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效益的合理分配
一.引例
设有甲、乙、丙三人经商,若各人单干,则每人仅能获利1元;若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元,乙丙合作可获利4元,三人合作可获利10元。
问三人合作时应如何合理分配10元的利益。
由题可见,有甲参加的合作,获利最大,7+5=12,
有乙参加的合作,获利次之,7+4=11,
有丙参加的合作,获利最小,5+4=9,
可见,在合作中,甲贡献最大,乙次之,丙最小。
故在分配利益时,应考虑与贡献联系起来。
具体如何分配,这方面的问题就是n人合作对策问题。
ShaplsyLS在1953年给出了解决该问题的一种方法。
二.n人合作对策的一些概念
(1)n人合作对策与特征函数
设有n个局中人的集合I={1,2,……,n},对I中任一子集S,S中的人合作的效益记为V(S),可看作I的所有子集上的实值函数。
定义一实函数V(S)满足条件:
(a)=0即没有人合作的效益为0
(b)当时,
(称为超可加性)即两组人员合作(这两组人员没有相同的人)的效益大于他们分别合作的效益。
[I,V]——称为一个n人合作对策(合作也称结盟coalition)。
V(S)——称为该对策的特征函数,描述合作的效益。
在引例中,V(甲)=V(乙)=V(丙)=1,
V(甲乙)=7>V(甲)+V(乙),
V(甲丙)=5>V(甲)+V(丙),
V(乙丙)=4>V(乙)+V(丙).
注:
①条件(b)称为超可加性,描述了“团结力量大”的道理。
②在合作对策中,假定参与结盟的各个成员都齐心协力,以保该结盟获得最大的利益。
(否则若互相拆台,还合作什么?
)
③有时也称V为合作对策,类似于把点的坐标称为点。
(2)简单对策
在对策[I,V]中,若对,V(S)只取值0或1,则称V为
简单对策。
使V(S)=1的S称为获胜结盟(Winningcoalition),使
V(S)=0的S称为失败结盟(Losingcoalition)。
特别在三人合作对策中,
①若V(甲)=V(乙)=V(丙)=V(甲乙)=V(甲丙)=V(乙丙)=0,
V(甲乙丙)=1,则记此简单对策为(三人合作有效益,其他没有)。
②若V(甲)=V(乙)=V(丙)=0,V(甲乙)=1,V(甲丙)=V(乙丙)=0,
V(甲乙丙)=1,则记次简单对策为(甲乙合作有效益,其他没有)。
③若V(甲)=V(乙)=V(丙)=0,V(乙丙)=1,V(甲丙)=V(甲乙)=0,
V(甲乙丙)=1,则记此为(乙丙合作有效益,其他没有)。
④若V(甲)=V(乙)=V(丙)=0,V(甲丙)=1,V(甲乙)=V(乙丙)=0,
V(甲乙丙)=1,则此V记为(甲丙合作有效益,其他没有。
⑤若V(甲)=V(甲乙)=V(甲丙)=V(甲乙丙)=1,
V(乙)=V(丙)=V(乙丙)=0,则记为(有甲参加有效益,其他没有)。
⑥若V(乙)=V(乙丙)=V(甲乙)=V(甲乙丙)=1,
V(甲)=V(丙)=V(甲丙)=0,则记为(有乙参加有效益,其他没有)。
⑦若V(丙)=V(甲丙)=V(乙丙)=V(甲乙丙)=1,
V(甲)=V(乙)=V(甲乙)=0,则记为(有丙甲参加有效益,其他没有)。
(3)n人合作对策的解
n人合作对策的解是指对总体结盟所获利V(I)的一个分配方案。
用表示局中人i从合作V中获得报酬,为一个分配方案,则至少应满足:
①个体合理性:
即合作优于单干
②总体合理性:
一般地,n人合作对策有很多解,如何获得一个更合理的唯一解。
//
(4)Shapley值(势指标)
Shapley在1953年提出了Shapley值三公理。
(分配原则)
①对称性.每个局中人获得的分配与他被赋予的记号无关,设为I
的一个排列,则(i=1,2,……,n)
其中πV为重排序后的特征函数.为重排后原局中人i的新编号;
②有效性.
(a)若成员i对他所参加的任一合作都无贡献,则给他的分配应为0.
即若,V(S)=V(S-{i}),则(i=1,2,……,n)(贡献为零的成员报酬为0))
这种局中人称为零局中人(nullplayer);
(b)完全分配;
③可加性对I上任意两个特征函数U与V
即若n人同时进行两项合作时,每人的分配是两项合作分配之和.
满足上述三公理的称为Shapley值,Shapley证明了对任一n人合作对策,Shapley值是唯一存在的且
i=1,2,…,n(6.11)
其中,为集S的元素个数,
按(6.11)式计算分配是较烦的。
//
简单来说,Shapley提出的分配原则是:
(1)贡献相同的成员报酬相同
用数学语言表达:
设i,j是任意两个成员。
S是I的任意子集,不包含i和j都有
V(S∪{i})=V(S∪{j}),则=
即在S中加入i或j的效益相同时,他们的报酬相同。
(2)贡献为零的成员报酬为0。
用数学语言表达:
设i是某一成员,对任意不包含i的子集S,
V(S)=V(S∪{i}),则=0,即若成员I对他参加的任何合作都没有贡献,则他的报酬为0。
(3)有效性:
即n个成员的报酬总和等于他们合作的效益。
(4)可加性。
若这n个成员进行两次合作U1和U2,那么两次分配之和应该等于把这两次合作合并分配的结果,就是
(大概
(1)
(2)(3)无人反对,如果(4)不成立的话,那么这几个人做了两单生意之后,就要为此吵架)
现在根据这些原则进行分配。
假设三个人进行一项合作V123获利1元,其他无利,那么三人的贡献相同,所以
i=1,2,3
又设三人独立经商均无获利,甲乙合作V12获利1元,那么甲乙在此合作中贡献相同,而丙无贡献。
所以甲、乙应各得1/2元,丙的报酬为0。
i=1,2
又设在三人合作中,若有甲参加则获利1元,其他无利,记此合作为V1,则甲应得1元,乙和丙的报酬为0。
,,
同样我们可以定义合作V13,V23,V2,V3,并求得相应的分配。
每一种合作可以看作一个7维向量,它们的分配可以看作一个3维向量。
于是我们可以列成以下的表:
左半部为他们合作的效益,右半部是个人应得的报酬。
甲
乙
丙
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙丙
甲
乙
丙
V1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
V2
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
V3
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
V12
0
0
0
1
0
0
1
1/2
1/2
0
V13
0
0
0
0
1
0
1
1/2
0
1/2
V23
0
0
0
0
0
1
1
0
1/2
1/2
V123
0
0
0
0
0
0
0
1/3
1/3
1/3
于是我们可以证明,映射V→是一个线性映射,也就是说存在一个7×3矩阵X,使=VX。
若记左半部的矩阵为A,右半部矩阵为B,那么AX=B,由此可以求得
取V=(1,1,1,7,5,4,10),得
=VX=(4,3.5,2.5)
即甲应得4元,乙得3.5元,丙得2.5元。
//
三.Shapley值的分解算法
设I=,现有合作V,,,,,把合作V分解为简单对策的线性组合
设(*)
系数可通过解方程组确定.这是一个函数恒等式,故对自变量的每个取值都应成立,其自变量S为I的各子集。
V1
V2
V3
V12
V13
V23
V123
V
A
1
0
0
0
0
0
0
u1
B
0
1
0
0
0
0
0
u2
C
0
0
1
0
0
0
0
u3
AB
1
1
0
1
0
0
0
u12
AC
1
0
1
0
1
0
0
u13
BC
0
1
1
0
0
1
0
u23
ABC
1
1
1
1
1
1
1
u123
代入(*)得方程组:
解出
所以a1,a2,a3分别表示A,B,C单干时的效益;
分别表示A与B,A与C,B与C合作时新增效益;
表示ABC三人合作时新增的效益,这是因为从第7方程看出(注:
a123不一定非负)
在分配时,对两人合作新增的效益应各分1/2,对三人合作新
增效益应各分1/3,从而
可以验证
若把各系数的解代入(6.13)也可得
例,在引例中,
代入系数公式可以求出,a1=a2=a3=1,a12=7-2=5,a13=5-2=3,a23=4-2=2,
a123=10-(2+3+5+1+1+1)=-3∴
所以
//
四,应用实例(p104例2)
下面举例说明这个模型的应用
有三个位于某河流同旁的城,从上游到下游依次为A、B、C,三城的污水必须经处理后方能排入河中,A、B距离为20公里,B、C距离38公里。
设Q为污水流量(米3/秒),L为管道长度(千米)。
假设建污水厂费用为Cl=730Q0.712(千元),
而建管道费用为C2=6.6Q0.51L(千元),
已知三城的污水流量分别为QA=5,QB=3,Qc=5,问应该怎样处理(单独设厂还是联合设厂),可使总开支最少,又每一城镇负担的费用应各为多少?
上游下游
QA=5 QB=3Qc=5
A B C
20km 38km
思路:
合作可省钱→把省钱看作获利→计算获利的分配→导出费用的分担
(5)A与C合作,在C处建厂
投资=
A与C分别建厂的投资
小于合建一厂的投资,故它们应选择分别建厂,即节省为0
(因为假设合作都应齐心协力使该结盟获得最大利益)
(6)B与C合作,在C处建厂
投资
比分别建厂节省
(7)A,B,C合作建厂在C处
投资
比各自建厂节省
综合上述可知,最佳方案(节省最多)的方案是
三城合作建一厂,共节省630.2(千元),这合作的获利如何分配呢?
现把节省的钱作为获利
,
取V=(0,0,0,383.5,0,244.2,630.2),计算得
=VX=(192.6,314.7,122,9)
把合作V分解为:
代入(6.13)得
从而投资的分担
约计算取整,则三城单独建厂各需2300千元
1600千元
2300千元
把问题看成三人合作对策,
A、B、C单干或AC合作,获利为0
AB合作获利400千元,BC合作获利250千元,ABC合作获利640元,取V=(0,0,0,400,250,0,640),代入=VX=(
于是,合作V为
V=400V12+250V23-10V123
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- 效益 合理 分配