人教A版高中数学同步辅导与检测选修11全集模块综合评价一Word下载.docx
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3.对∀k∈R,则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是( )
A.两条直线B.圆
C.椭圆或双曲线D.抛物线
分k=0,1及k>0且k≠1,或k<0可知:
方程x2+ky2=1不可能为抛物线.
D
4.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
由y=,得y′=,所以在点(-1,-1)处切线的斜率k=y′|x=-1=2.由点斜式得切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
5.设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,曲线y=(k>
0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A.B.1
C.D.2
根据抛物线的方程求出焦点坐标,利用PF⊥x轴,知点P,F的横坐标相等,再根据点P在曲线y=上求出k.
因为y2=4x,所以F(1,0).
又因为曲线y=(k>
0)与C交于点P,PF⊥x轴,所以P(1,2).
将点P(1,2)的坐标代入y=(k>
0)得k=2.故选D.
6.已知函数f(x)=x2+bx,则“b<
0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
将f(f(x))中的f(x)看做整体通过配方看出与f(x)有相同的最小值,并利用条件进行验证.
因为f(x)=x2+bx=-,当x=-时,
f(x)min=-,
又f(f(x))=[f(x)]2+bf(x)=-,
当f(x)=-时,f(f(x))min=-,当-≥-时,
f(f(x))可以取到最小值-,即b2-2b≥0,解得b≤0或b≥2,故“b<
0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.故选A.
7.函数f(x)=x2+2xf′
(1),则f(-1)与f
(1)的大小关系为( )
A.f(-1)=f
(1)B.f(-1)<f
(1)
C.f(-1)>f
(1)D.无法确定
f′(x)=2x+2f′
(1),
令x=1,得f′
(1)=2+2f′
(1),
所以f′
(1)=-2.所以f(x)=x2+2x·
f′
(1)=x2-4x.f
(1)=-3,f(-1)=5.
所以f(-1)>f
(1).
C
8.过点P(0,3)的直线与双曲线-=1只有一个公共点,则这样的直线有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
数形结合,直线与双曲线只有一个公共点,有两个可能:
一是直线恰与双曲线相切,二是直线与双曲线的渐近线平行.根据图形的对称性共有4条.
9.若函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
f′(x)=3kx2+6(k-1)x.
由题意知3kx2+6(k-1)x≤0.
即kx+2k-2≤0在(0,4)上恒成立,
得k≤,x∈(0,4)
又<<1,所以k≤.
10.以正方形ABCD的相对顶点A,C为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为( )
设正方形的边长为m,则椭圆中的2c=m,2a=
m+=m,故椭圆的离心率为==.
11.已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则( )
A.f(x1)>0,f(x2)>-
B.f(x1)<0,f(x2)<-
C.f(x1)>0,f(x2)<-
D.f(x1)<0,f(x2)>-
函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),则f′(x)=lnx-2ax+1有两个零点,即方程lnx=2ax-1有两个极根,
由数形结合易知0<a<且0<x1<1<x2.因为在(x1,x2)上f(x)递增,
所以f(x1)<f
(1)<f(x2),即f(x1)<-a<f(x2),
所以f(x1)<0,f(x2)>-.
12.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1(a>
b>
0)的左焦点,且与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为,则椭圆的离心率为( )
因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
抛物线y2=4x的准线过椭圆+=1(a>
0)的左焦点,
所以椭圆的左焦点坐标为(-1,0),所以c=1,
因为O为坐标原点,△AOB的面积为,
所以×
×
1=,所以==,
整理得2a2-3a-2=0,解得a=2或a=-(舍),
所以e==.故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是________.
由双曲线的标准方程,知a2=7,b2=3,所以c2=a2+b2=10,所以c=,从而焦距2c=2.
2
14.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
因为f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.
3
15.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=________.
依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),则有|QF|=x0+的最小值是=1,则p=2.
16.下列命题中,正确命题的序号是________.
①可导函数f(x)在x=1处取极值则f′
(1)=0;
②若p为:
∃x0∈R,x+2x0+2≤0,则綈p为:
∀x∈R,x2+2x+2>0;
③若椭圆+=1两焦点为F1,F2,弦AB过F1点,则△ABF2的周长为16.
命题③中,椭圆焦点在y轴上,a2=25,故△ABF2的周长为4a=20,故命题③错误.
①②
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求适合下列条件的标准方程:
(1)已知椭圆经过点P(-5,0),Q(0,3),求它的标准方程;
(2)已知双曲线的离心率e=,经过点M(-5,3),求它的标准方程.
解:
(1)已知椭圆经过点P(-5,0),Q(0,3),可得焦点在x轴,所以a=5,b=3,则标准方程:
+=1;
(2)因为离心率e=,所以a=b,又经过点M(-5,3),
所以解得:
a2=b2=16
或无解.
所以双曲线C的标准方程为:
-=1.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+2x-lnx.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f′(x)=2-,
令f′(x)=0,得x=.
当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x)
-
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=时,f(x)取极小值1+ln2,f(x)无极大值.
(2)已知f(x)=ax2+2x-lnx,且x>
0,
所以f′(x)=ax+2-=.
若a=0,由f′(x)>
0,x>
0得x>
,显然不合题意.
若a≠0,因为f(x)在区间上是增函数,
所以f′(x)≥0对任意的x∈恒成立,即不等式ax2+2x-1≥0对任意的x∈恒成立.
即a≥=-=-1在上恒成立,
故a≥,x∈.
而当x=时,-1=3,即实数a取得最大值3,
所以实数a的取值范围为a≥3.
19.(本小题满分12分)已知命题p:
方程+=1所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆;
命题q:
实数t满足不等式t2-(a-1)t-a<0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围;
(2)若命题p是命题q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
(1)因为方程+=1所表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆,
所以3-t>t+1>0,解得:
-1<t<1.
(2)因为命题p是命题q的充分不必要条件,
所以-1<t<1是不等式t2-(a-1)t-a=(t+1)(t-a)<0解集的真子集.
法一:
因方程t2-(a-1)t-a=(t+1)(t-a)=0两根为-1,a.故只需a>1.
法二:
令f(t)=t2-(a-1)t-a,因f(-1)=0,故只需f
(1)<0,解得:
a>1.
20.(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交3元的管理费,预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润y(万元)与每件产品的售价的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润y最大,并求出y的最大值.
(1)分公司一年的利润y(万元)与售价x的函数关系式为L=(x-3-3)(12-x)2=(x-6)(114+x2-24x)=x3-30x2+288x-864,x∈[9,11];
(2)函数的导数为y′=3x2-60x+288=
3(x2-20x+96)=3(x-12)(x-8),
当x∈[9,11]时,y′<0,L单调递减,
于是当每件产品的售价x=9时,
该分公司一年的利润最大,且最大利润ymax=27万元.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求y=f(x)的单调区间.
f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).
(1)f′
(1)=f′(3),解得a=.
(2)f′(x)=(x>0).
①当a≤0时,x>0,ax-1<0,
在区间(0,2)上,f′(x)>0;
在区间(2,+∞)上f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当0<a<时,>2,在区间(0,2)和上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.
③当a=时,f′(x)=,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>时,0<<2,在区间和(2,+∞)上,
f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.
22.(本小题满分12分)已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1和F2,且|F1F2|=2,点在该
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