普通高等学校招生全国统一考试数学1985年 文科数学文档格式.docx
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(C){1,3,7,8}
(D){1,3,6,7,8}
以π为周期的偶函数?
(A)y=x2
(x∈R)
(B)y=│sinx│
(x∈R)
(C)y=cos2x
(D)y=esin2x
(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有
(A)96个
(B)78个
(C)72个
(D)64个
二、只要求直接写出结果.
(2)求圆锥曲线3x2-y2+6x+2y-1=0的离心率.
(3)求函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值.
(4)设(3x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值.
(5)设i是虚数单位,求(1+i)6的值.
三、设
S1=12,
S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,….
用数学归纳法证明:
公式
对所有的正整数n都成立.
四、证明三角恒等式
五、
(1)解方程
lg(3-x)-lg(3+x)=lg(1-x)-lg(2x+1).
(2)解不等式
六、设三棱锥V-ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β,它的高是h.求这个三棱锥底面的内切圆半径.
七、已知一个圆C:
x2+y2+4x-12y+39=0和一条直线l:
3x-4y+5=0.求圆C关于直线l对称的圆的方程.
1985年全国普通高等学校招生统一考试(文史卷)
数学参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)D;
(2)A;
(3)C;
(4)B;
(5)B.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
(1){x│-2≤x<
1}∪{x│1<
x≤2};
(2)2;
(3)最大值是2,最小值是-2;
(4)64(或26;
(5)-8i.
三、本题考查应用数学归纳法证明问题的能力.
证明:
因为Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12,即要证明
12+22+32+…+n2+…+32+22+12
(Ⅱ)假设当n=k时,(A)式成立,即
现设n=k+1,在上式两边都加上(k+1)2+k2,得
12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12
即证得当n=k+1时(A)式也成立.
根据(Ⅰ)和(Ⅱ),(A)式对所有的正整数n都成立,即证得
四、本题考查三角公式和证明三角恒等式的能力.
证法一:
左边=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x-(4cos3x-3cosx)cosx
=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x
=(2sin2x+cos2x)(sin2x+cos2x)+3cos2x
=2sin2x+cos2x+3cos2x
=2+2cos2x=右边.
证法二:
=右边.
五、本题考查对数方程、无理不等式的解法以及分析问题的能力.
(1)解法一:
由原对数方程得
于是
解这个方程,得到
x1=0,x2=7.
检验:
把x=0代入原方程,左边=0=右边;
故x=0是原方程的根.把x=7代入原方程,由于3-x<
0,1-x<
0,它们的对数无意义,故x=7不是原方程的根,应舍去.
因此,原对数方程的根是x=0.
对原方程变形,同解法一,得
x1=0,
x2=7.
2x+5>
x2+2x+1,
x2<
4,即-2<
x<
2.
但由条件x≥-1,因此-1≤x<
2也是原不等式的解.
综合(i)和(ii),得出原不等式的解集是
六、本题考查三棱锥、二面角的概念,三垂线定理和解决空间图形问题的能力.
解:
自三棱锥的顶点V向底面作垂线,垂足为O.再过O分别作AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,G.连接VE,VF,VG.根据三垂线定理知
VE⊥AB,VF⊥BC,VG⊥AC.
因此∠VEO,∠VFO,∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角,由已知条件得
∠VEO=∠VFO=∠VGO=β.
在△VOE和△VOF中,由于VO⊥平面ABC,所以VO⊥OE,VO⊥OF.
又因VO=VO,∠VEO=∠VFO,于是△VEO≌△VFO.由此得到OE=OF.
同理可证OE=OG.
因此OE=OF=OG.
又因OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥AC,所以点O是△ABC的内切圆的圆心.
在直角三角形VEO中,VO=h,∠VEO=β,因此OE=hctgβ.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hctgβ.
七、本题考查直线和圆的基础知识和用解析法解决几何问题的能力.
解法一:
已知圆C的方程是x2+y2+4x-12y+39=0,它可写成(x+2)2+(y-6)2=1,因此它的圆心为P(-2,6),半径为1.
即
3a-4b-20=0.
(1)
又PP′⊥l,故有
4a+3b-10=0.
(2)
解
(1),
(2)所组成的方程组,得
a=4,b=-2.
由此,所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即
x2+y2-8x+4y+19=0.
解法二:
设圆C上任一点(x′,y′)关于直线l的对称点为(x,y).则有
由此可得
因点(x′,y′)在圆C上,故有(x′+2)2+(y′-6)2=1,即有
化简,得x2+y2-8x+4y+19=0,这就是所求圆的方程.
八、本题考查数列和极限的基础知识以及分析问题的能力.
当公比q满足0<
q<
1时,
因此
当公比q=1时,Sn=1+1+…+1=n,于是
当公比q>
综合以上讨论得到
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