第二章 有理数及其运算Word文档格式.docx
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应抓住它的三要素:
原点,正方向,单位长度,三者缺一不可。
数轴的表示方法:
数轴上表示数的点可用大写字母标出,写在数轴上方相对应点的上面,原点用O表出,它表示数0,数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定,不一定在中间,在同一数轴上,单位长度要相同。
比较大小(数轴):
数轴从左至右依次增大,所以先在数轴确定两个(或多个)数的位置,然后按它的特点进行判断。
数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的大。
正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
比较两个负数的大小:
绝对值大的反而小
有理数大小的比较:
正数大于0;
负数小于0;
正数大于负数;
两负数绝对值大的反而小。
4.相反数
代数定义:
只有符号不同的两个数,我们称其中一个为另一个的相反数,这两数也互称为相反数。
0的相反数是0。
几何定义:
两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。
5.绝对值
一个正数的绝对值是它本身;
一个负数的绝对值是它的相反数;
0的绝对值是0。
用式子表示为:
|a|=
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,记作“|a|”。
易错知识辨析
1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;
2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;
3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.
4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.
1、精讲例题
例题组1
1.下列说法:
①零是正数②零是整数③零是最小的有理数④零是最小的自然数
⑤零是最大的负数⑥零是非负数⑦零是偶数其中正确的说法为().
2.体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,
其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒。这个小组女生的达标率是()
A.25%B.37.5%C.50%D.75%
3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下
编号
1
2
3
4
5
6
7
与标准体重的差(kg)
-3.0
+1.5
+0.8
+0.3
+1.2
+0.5
A.最接近标准体重的学生体重是多少?
并说明这个有理数的意义.
B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?
4.观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?
请接着写出后面的三个数,并写出第150个数.
(1)1,-,,-,,-,,-,_______,________,_______,第150个数是________;
(2)1,-,-,-,,-,-,-______,_______,_______,第150个数是________;
(3)1,,-,-,1,,-,-_______,_______,_______,第150个数是________.
搭配训练题
1.如果表示有理数,那么下列说法中正确的是()
(A)和一定不相等(B)一定是负数
(C)和一定相等(D)一定是正数
2.π是()
(A)整数(B)分数(C)有理数(D)以上都不对
3.大于–3.5,小于2.5的整数共有()个。
(A)6(B)5(C)4(D)3
4.写出三个有理数,使它们满足:
①是负数;
②是整数;
③能被2、3、5整除。
答:
____________
5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示(单位:
万元)
月份
一月
二月
三月
收入
32
48
50
支出
12
13
10
请问:
(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元?
(2)如果收入用正数表示,则总收入与总支出应如何表示?
(3)该公司第一季度利润为多少万元?
例题组2
1.数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32,那么,数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________
2..一数轴上的A点到原点的距离为2.,那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数
有()A.1个B.2个C.3个D.4个
3.借助数轴列式回答下列问题
(1)与原点相距的点表示的数是什么?
(2)与-3相距的点表示的数是什么?
(3)一个点A表示的数为-,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?
(4)两个点A,B分别表示的数为-1,,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C表示的数是什么?
1.画一条数轴,并在数轴上找出比-大,且比小的整数点.
2.2.根据下面给出的数轴,解答下列问题:
(1)A、B两点之间的距离是多少?
(2)画出与点A的距离为2的点(用不同于A、B的字母在所给的数轴上表示)。
(3)数轴上,线段AB的中点表示的数是多少?
3.有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,则下列不等式正确的是()
A.a>
bB.-a>
-bC.b>
oD.a>
o
例题组3
1.已知,则a是__________数;
已知,那么a是_________数。
2.
(1).+5的相反数是–5,–5的相反数是5,那么数x的相反数是______,数–x的相反数是________;
数的相反数是_________;
数的相反数是____________。
(2)因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4,有这样的关系,那么到点100和到点999距离相等的数是_____________;
到点距离相等的点表示的数是____________;
到点m和点–n距离相等的点表示的数是________。
(3)已知点4和点9之间的距离为5个单位,有这样的关系,那么点10和点之间的距离是____________;
点m和点n(数n比m大)之间的距离是_____________。
(4)数5的绝对值是5,是它的本身;
数–5的绝对值是5,是它的相反数;
以上由定理非负数的绝对值等于它本身,非正数的绝对值等于它的相反数而来。
由这句话,正数–a的绝对值为__________;
负数–b的绝对值为________;
负数1+a的绝对值为________,正数
–a+1的绝对值___________。
3.
(1)如果︱x-2︱=2,求x,并观察数轴上表示x的点与表示1的点的距离。
(2)在
(1)的启发下求适合条件︱x-1︱<
3的所有整数x的值。
搭配课堂训练题
1.下列说法中正确的是()
A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值B.相反数等于它本身的数只有零
C.一个有理数不是正数就一定是负数D.绝对值等于它本身的数只有零.
2.若,则的取值不可能是()
A.0B.1C.2D.-2
3.绝对值大于1而小于4的整数有,这些整数之和为。
4.若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,则+m-cd的值为。
5.若+(b-3)=0,则a=,b=,ab=.
2、巩固练习
1.
2.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20米处,玩具店位于书店东边100米处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又向东走了-60米,此时小明的位置在()
A.文具店B.玩具店
C.文具店西40米处D.玩具店西60米处
3.在0,,-,-8,+10,+19,+3,-3.4,π中整数的个数是()
A.6B.5C.4D.3
4.下面是具有相反意义的量,请用箭头标出其对应关系
5.如图,数轴上的点A.B.O、C.D分别表示-5、-1.5、0、2.5、6,回答下列问题.
(1)O、C以及B.D两点间的距离各是多少?
(2)你能发现所得的距离与这两点所对应的数的差有什么关系吗?
并请说出这个关系;
(3)假如数轴上任意两点A.B所表示的数是a、b,请你用一个式子表示这两点间的距离.
6.若,则;
若,则;
若,则。
7.数轴上点A表示数-1,若|AB|=3,则点B所表示的数为__________________。
8.若,则。
9.
(1)已知,,且b<
a,求a、b的值
(2)已知试用号将连接起来。
10.化简的结果是__________。
(二)有理数的运算
有理数的加、减法
1.有理数加、减法的定义
(1)把两个数合成一个有理数的运算,叫做有理数的加法。
(2)已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算,叫做减法。
2.有理数加、减法法则(重点)
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
(同号相加,符号不变,绝对值相加)
(2)异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(异号相加,符号同大,绝对值相减)
(3)互为相反数的两数相加得零
(4)一个数同零相加,仍得这个数
(5)减去一个数,等于加上这个数的相反数
3.有理数加法的运算律(难点)
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即
4.有理数加减混合运算的方法和步骤(难点)
第一步:
运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
第二步:
运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算
有理数的乘、除法
1.有理数的乘、除法法则(重点)
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘
任何数与零相乘,积仍为零
(2)两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数,都得0
除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数
2.倒数、负数的倒数(重点)
(1)若两个有理数的乘积为1,则这两个有理数互为倒数
(2)求一个负整数的倒数,直接写成这个数分之一即可;
求一个负分数的倒数,把这个数的分子分母颠倒一下位置即可。
3.有理数乘法法则的推广(难点)
(1)几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:
当负因数有奇数个时,积为负;
当负因数有偶数个时,积为正;
(2)几个数相乘,只要有一个因数为零,则积为零
4.有理数的乘法运算律(难点)
(1)乘法交换律:
两数相乘,交换因数的位置,积不变。
(2)乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变
(3)乘法分配律:
一个数同两个数的和相乘,等于把这两个数分别同两个数相乘,再把积相加
有理数的乘方
1.乘方的定义(重点)
求n个相同因数的积的运算叫做乘方,即,其中乘方的结果叫做幂,
叫做底数,n叫做指数。
2.乘方运算的符号法则(难点)
正数的任何次幂都是正数;
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
1,0的任何次幂分别
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