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y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x),D(f
-1)=Y,Z(f
-1)=X
且也是严格单调增加
(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性:
y=f(x),x
∈D,x1、x2∈D
当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)
在D内单调增加(
)
;
若f(x
1
)≥f(x),
2
在D内单调减少(
若f(x1)<f(x
2),
则称f(x)在D内严格单调增加(
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。
2.函数的奇偶性:
D(f)关于原点对称
偶函数:
f(-x)=f(x)
奇函数:
f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性:
周期函数:
f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)
周期:
T——最小的正数
4.函数的有界性:
|f(x)|≤M,x∈(a,b)
㈢基本初等函数
1.常数函数:
y=c,(c为常数)
2.幂函数:
y=xn,(n为实数)
3.指数函数:
y=ax,(a>0、a≠1)
4.对数函数:
y=logax,(a>0、a≠1)
5.三角函数:
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
-1-
6.反三角函数:
y=arcsinx,y=arcconx
y=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数:
y=f(u),u=φ(x)
y=f[φ(x)],x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函
数
1.2极限
一、主要内容㈠极限的概念
1.数列的极限:
limynA
n
称数列yn以常数A为极限;
或称数列yn收敛于A.
若yn的极限存在yn必定有界.
2.函数的极限:
⑴当x时,f(x)的极限:
lim
A
limf(x)A
⑵当xx0时,f(x)的极限:
xx0
-2-
左极限:
x
右极限:
x0
⑶函数极限存的充要条件:
limf(x)A
limf(x)
定理:
xx0
㈡无穷大量和无穷小量
1.无穷大量:
limf(x)
称在该变化过程中f(x)为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
x
xx0,xx0,xx0
2.
无穷小量:
lim
f(x)0
称在该变化过程中
f(x)为无穷小量。
3.
无穷大量与无穷小量的关系:
(f(x)0)
f(x)
4.
无穷小量的比较:
0,lim
lim0
⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;
limc
⑵若(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
-3-
lim1
⑶若,则称β与α是等价的无穷小量,记作:
β~α;
⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量。
若:
则:
1~1,2~2;
㈢两面夹定理
1.数列极限存在的判定准则:
设:
ynxnzn(n=1、2、3,)
且:
limynlimzna
nn
limxna
2.函数极限存在的判定准则:
对于点x0的某个邻域内的一切点
(点x0除外)有:
g(x)f(x)h(x)
limg(x)limh(x)A
xx0xx0
-4-
㈣极限的运算规则
若:
limu(x)A,limv(x)B
①lim[u(x)v(x)]
limu(x)
limv(x)A
B
②lim[u(x)v(x)]limu(x)
limv(x)
③limu(x)
limu(x)
(limv(x)
0)
v(x)
limv(x)
推论:
①lim[u1(x)u2(x)un(x)]
limu1(x)limu2(x)limun(x)
②lim[cu(x)]
climu(x)
③lim[u(x)]n
[limu(x)]n
㈤两个重要极限
sin
sin(x)
(x)
1.x
或
(x)
1)x
(1
e
lim(1
x)x
2.x
1.3连续
一、
主要内容
㈠
函数的连续性
1.
函数在x0处连续:
f(x)在x0的邻域内有定义,
o
limy
lim[f(x0
x)
f(x0)]
-5-
f(x0)
xx
f(x0)
左连续:
右连续:
2.函数在x0处连续的必要条件:
f(x)在x0处连续f(x)在x0处极限存在
3.函数在x0处连续的充要条件:
limf(x)f(x0)
limf(x)f(x0)
4.函数在
a,b上连续:
f(x)在a,b上每一点都连续。
在端点a和b连续是指:
limf(x)
xa
limf(x)
xb
a+0
5.函数的间断点:
f(a)
左端点右连续;
f(b)
右端点左连续。
b-x
若f(x)在x0处不连续,则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况:
-6-
))xx((ff)x(f
1o在x0处无定义;
不存在;
3
在x0处有定义,且xx0
存在,
但xx0
。
两类间断点的判断:
1o第一类间断点:
limf(x)limf(x)
特点:
xx
和xx
都存在。
可去间断点:
xx0存在,但
在x0处无定义。
,或
2o第二类间断点:
至少有一个为∞,
或xx0
振荡不存在。
无穷间断点:
xx0
和xx0
至少有一个为∞
㈡函数在x0处连续的性质
-7-
1.连续函数的四则运算:
f(x0)limg(x)g(x0)
设xx
,xx
lim[f(x)
g(x)]
g(x0)
limg(x)0
2.复合函数的连续性:
yf(u),u(x),yf[(x)]
li
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