振动力学参考答案.doc
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振动力学参考答案.doc
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习题与综合训练第一章
2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型,房顶质量为m,视为一刚性杆;柱子高h,视为无质量的弹性杆,其抗弯刚度为EJ。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解:
由于两根杆都是弹性的,可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k
则
其中为两根杆的静形变量,由材料力学易知
=
则=
设静平衡位置水平向右为正方向,则有
q
Fsina
a
F
h
mg
q
F
所以固有频率
2-2一均质等直杆,长为l,重量为W,用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置,如题2-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出振动固有周期。
解:
给杆一个微转角q
q=ha
2F=mg
由动量矩定理:
其中
2-3求题2-3图中系统的固有频率,悬臂梁端点的刚度分别是和,悬臂梁的质量忽略不计。
解:
悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧,因此,k1与k2串联,设总刚度为k1ˊ。
k1ˊ与k3并联,设总刚度为k2ˊ。
k2ˊ与k4串联,设总刚度为k。
即为
,,
2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中、和是三个轴段截面的极惯性矩,I是圆盘的转动惯量,各个轴段的转动惯量不计,材料剪切弹性模量为G。
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
2-5如题2-5图所示,质量为的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动,鼓轮绕轴的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力,求此系统的固有频率。
解:
此系统是一个保守系统,能量守恒
系统的动能为:
系统的势能为:
总能量
由于能量守恒
消去得系统的运动方程为:
系统的固有频率为:
2-6如题2-6图所示,刚性曲臂绕支点的转动惯量为,求系统的固有频率。
解:
设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标,系统作简谐运动,其运动方程为。
很小,系统的动能为
所以,
取系统平衡位置为势能零点。
设各弹簧在静平衡位置伸长为,由
,(A)
由题意可知,系统势能为
(B)
将(A)式代入(B)式,可得系统最大势能为,
由,
得
所以,有
2-7一个有阻尼的弹簧--质量系统,质量为10kg,弹簧静伸长是1cm,自由振动20个循环后,振幅从0.64cm减至0.16cm,求阻尼系数c。
解:
振动衰减曲线得包络方程为:
振动20个循环后,振幅比为:
代入,得:
又
=
c=6.9Ns/m
O
mg
j
XO
YO
FK
FC
,
2-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承,如题2-8图所示。
写出运动微分方程,并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。
解:
图
(1)为系统的静平衡位置,画受力图如
(2)。
由动量矩定理,列系统的运动微分方程为:
当n=pn时,c=cC
2-9如题2-9图所示的系统中,刚杆质量不计,试写出运动微分方程,并求临界阻尼系数及固有频率。
解:
2-10如题2-10图所示,质量为2000kg的重物以3cm/s的速度匀速运动,与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。
已知k=48020N/m,c=1960Ns/m,问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?
最大振幅是多少?
解:
以系统平衡位置为坐标原点,建立系统运动微分方程为
所以有++x=0
其特征方程为:
+r+=0r=-0.494.875i
所以:
x=cos4.875t+sin4.875t
由于n ,,,m/s。 故通解为 其中,。 (代入初始条件,当t=0时,x=0,=0 当t=0时,=0,=0.006 x=0.006sin4.875t =0.006(-0.49)sin4.875t+0.0064.875cos4.875 当=0时,振幅最大,此时t=0.03s。 当 t=0.03s时,x=0.005m) 代入初始条件,得 ,得 物体达到最大振幅时,有 既得t=0.30s时,物体最大振幅为 cm 2-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为,在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为,求系统的无阻尼固有频率、相对阻尼系数及对数衰减率。 解: ,,; 三个方程联立,解得: 习题与综合训练第二章 2-1已知系统的弹簧刚度k=800N/m,作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s,相邻两振幅的比值,若质量块受激振力N的作用,求系统的稳态响应。 解: 由题意,可求出系统的运动微分方程为 得到稳态解 其中 由 又 有 所以 x=1.103cos(3t-51°27¢) 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用,当激振频率rad/s时,系统发生共振;给质量块增加1kg的质量后重新试验,测得共振频率rad/s,试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解: 设原系统的质量为m,弹簧常数为k 由 ,共振时 所以 ① 又由当 ② ①与②联立解出 m=20.69kg k=744.84N/m 2-3总质量为W的电机装在弹性梁上,使梁产生静挠度,转子重Q,重心偏离轴线e,梁重及阻尼可以不计,求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解: 列出平衡方程可得: 所以: 又因为 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示,作用在质量块上的激振力,弹簧支承端有运动,写出系统的运动微分方程,并求稳态振动。 题2-4图 解: 选时物块平衡位置为坐标原点O,建立坐标系,如右图, 则即 即(*)改成,下面也都一样 利用复数求解,用代换sinwt并设方程(*)的解为这里求的是特解,也就是稳态解。 代入方程(*)得 其中B为振幅,为响应与激励之间的相位差,有 = 。 其中 2-5如题2-5图的弹簧质量系统中,两个弹簧的连接处有一激振力,求质量块的振幅。 题2-5图 解: 设弹簧1,2的伸长分别为x1和x2,则有, (A) 由图 (1)和图 (2)的受力分析,得到 (B) (C) 联立解得, 所以,n=0,得, 2-6在题2-6图示的系统中,刚性杆AB的质量忽略不计,B端作用有激振力,写出系统运动微分方程,并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶ (1)系统发生共振; (2)等于固有频率的一半。 mg q B P0sinwt A XA YA FC FK 题2-6图 解: 图 (1)为系统的静平衡位置,以q为系统的广义坐标,画受力如图 (2) 又I=ml2 则 1)系统共振,即 2) 2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程,并求系统固有频率、阻尼比及稳态响应振幅。 题2-7图 解: 以刚杆转角为广义坐标,由系统的动量矩定理 即 令,,,,,得到 2-8一机器质量为450kg,支承在弹簧隔振器上,弹簧静变形为0.5cm。 机器有一偏心重,产生偏心激振力N,其中是激励频率,g是重力加速度。 求 (1)在机器转速为1200r/min时传入地基的力; (2)机器的振幅。 解: 设系统在平衡位置有位移, 则 即 又有则 (1) 所以机器的振幅为 (2)且,(3) 又有(4) 将 (1) (2)(4)代入 (2)得机器的振幅=0.584mm 则传入地基的力为 2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为,已知N,B=5cm,rad/s,求最初1秒及1/4秒内,激振力作的功及。 2-10证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为 证明 2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在时振幅达最大值。 证明: 设结构阻尼的应变幅度为B,则应变改变一周期内所消耗的能量 为与材料有关的常数与频率无关,则等效粘性阻尼系数 由于振幅 所以, 其中, 对求导得, 当时,,振幅B达到最大值 2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用,已知,求系统响应。 题2-12图 解: 由图得激振力方程为 当0 由于,所以有 当t1 当t +0 2-13如题2-13图的系统,基础有阶跃加速度,初始条件为,求质量m的相对位移。 题2-13图 解: 由牛顿定律,可得系统的微分方程为 令,则有 得到系统的激振力为,,可得响应为 其中,,。 2-14上题系统中,若基础有阶跃位移,求零初始条件下的绝对位移。 解: 系统振动的微分方程为 即 基础有阶跃位移,故=0=,则有 得到系统的激振力为,,可得响应为 其中,,。 2-15求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。 题2-15图 解: 由图得激振力方程为 当0 当t 2-16零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力作用,求系统响应。 题2-16图 解: 由图得激振力方程为 当0 当t1 当t +0 解: 运动微分方程为 当时, 当时,算法同上,所以有 当时, +0 系统响应为 2-17零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用,若,求系统响应。 题2-17图 解: 由图得激振力方程为 当0 当t>t1时,,则有 2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力的响应,已知。 题2-18图 解: 由图得激振力方程为 当0 当t
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