第七章弹性连续体振动的准确解Word格式.doc
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在弦上x处取一微段dx,其质量dm=Adx,在任一微段两端作用着大小相等方向不同的张力T0,根据牛顿运动定律,得
由于微振动,有
故有
代入,简化后,即为
或写成
(7-1)
式中称为波沿弦长度方向传播的速度。
(7-1)式是弦的横向振动微分方程,通常称为一维波动方程。
下面讨论波动方程解的具体形式。
波动方程的接通常用分离变量法得到,即假设解是由两个单变量函数的乘积构成,根据对有限自由度系统振动的了解,可设方程(7-1)的解为
y(x.t)=Y(x)·
T(t)(7-2)
式中Y(t)表示弦的振动,仅为x的函数,而T(t)表示弦的振动规律,是只与时间t有关的待定常数。
将(7-2)式代入方程(7-1)式可得
(a)
上式中两个变量已分离,左边只依赖于t,所以要使上式对任意的x与t都成立,则两边必须都等于同一常数,设此常数为-p2(因为只有负值,才可得到谐振动方程),便得到如下两个常微分方程
,(b)
由上列方程可分别解得
(7-3)
(7-4)
式中p为弦自由振动的频率,A、B、C、D皆为积分常数。
波动方程的通解为
(7-5)
式中的p及A、B、C、D可由弦振动的边界条件和初始条件来确定。
对于图7-1所示的情况,弦的两边固定,边界条件为y(0·
t)=0,y(L·
t)=0,因为,所以Y(0)=0及Y(L)=0。
代入(7-4)式得D=0及
(7-6)
(7-6)式为弦振动的特征方程,即频率方程。
解之得
(i=1,2,……)
故得弦振动的固有频率
(i=1,2,……)(7-7)
对应的主振型为
(7-8)
因为振型只确定系统中各点振幅的相对比值,故上式中无需带常数因Ci。
前三阶主振型如图7-2(a)、(b)、(c)所示。
弦对应于各个固有频率的主振动为
在一般情况下,弦的自由振动为无限多阶主振动的迭加
(7-9)
其中Ai与Bi由振动的初始条件确定。
设在初始时刻t=0,有
y(x,0)=f(x),
于是有
由三角函数的正交性,有
由此可得
(7-10)
[例7-1]张紧弦如图7-3所示,现把弦从它的初始位形突然释放,求弦的自由振动响应。
解:
弦的初始位形可表示为
由(7-10)式求得
Ai=0(i=1,2,……,)
(i=1,2,……)
因而弦的自由振动响应可表示为
7-2杆的纵向自由振动
本节讨论均质等截面细长直杆的纵向自由振动。
设杆长为L,横截面积为A,单位体积质量为,拉压弹性模量为E,如图7-4所示。
杆中心线为x轴,杆左端为原点0,假设杆在振动过程中杆的横截面只有x方向的位移,而始终保持平面,并略去由于杆的纵向伸缩引起的横行变形。
以u(x,t)表示x处截面的纵向位移。
在x处取微段dx,分析其受力状态,在x截面与x+dx截面上的内力分别为N与,
微段的轴向应变,微段的轴向应力,故
根据牛顿运动定律,可得
或
或(7-11)
式(7-11)即为杆纵向自由振动微分方程,亦为波动方程,与方程(7-1)的形式完全相同。
式中:
a=为波在杆件中沿X轴的传播速度。
将(7-1)式中的y代以u,就可直接得到(7-11)式的解为
u(X,t)=U(X)T(t)
式中U(X)为主振型函数,T(t)=Asinpt+Bcospt,U(x)=Csin+Dcos
(7-12)
完全与弦的振动类似,(7-12)中的p及积分常数由问题的边界条件与初始条件确定。
[例7-2]图7-5所示一端固定,另一端弹性支承,刚度系数为K的直杆,求系统的纵向自由振动的固有频率与主振型。
系统振动微分方程的解由(7-12)式给出。
以下根据杆右端的不同约束情况,分别给出相应的边界条件及对应的解。
1、杆右端为弹性约束情况
边界条件:
在x=0处,u(0,t)=0即U(0)=0,在x=L处,杆受到弹簧力-Ku(L,t)的作用,即
即
因,代入两个边界条件后得D=0,及频率方程
上式可写成
令=-EA/KL,对应于给定的值采用试奏法不难找到各个固有频率pi值。
也可采用下述作图法求出。
由方程,以pL/a为横坐标,为纵坐标,作出和-两个图形,如图7-6所示,得到两个图形交点的横坐标pL/a便可求出各阶固有频率。
相应的主振型为
2.右端无弹力情况此时杆右端自由,边界条件为,,代入式有,所以频率方程成为,可得出
,则(i=1,2,…)
(i=1,2,…)
3.右端固定情况边界条件为Ux=0=0,Ux=L=0。
频率方程成为
(i=1,2,…)
[例7-3]图7-7所示为一端固定,另一端带有集中质量的杆,求该系统的固有频率。
系统振动微分方程的解为(7-12)。
由于在振动时杆端附加质量产生惯性力,故边界条件:
x=0处,U(0,t)=0,即U(0)=0;
X=L处,
代入(7-12)式,得
D=0
及频率方程
由于,E=ρa2代入整理后得
上式作变为杆的质量与附加质量M的比值,是给定的值。
该频率方程的根可以用前述的作图法求出。
设ρAL/M=,PL/a=β,则频率方程为tgβ=β/α。
例如取α=1,则以β为横坐标,作出tgβ和1/β的两条曲线,如图7-8所示,得到两条曲线的交点β1、β2、……,便可求得各阶固有频率pi(i=1,2,……∞)。
从图中可得β1=0.860,即第一阶固有频率为
第二、三阶固有频率相应为
,
7-3轴的扭转自由振动
本节讨论等截面直圆轴的扭转自由振动,圆轴长为L,半径为r,轴的单位体积的质量为ρ,剪切模量为G,截面的极惯性矩为JP。
取圆轴的轴心线为X轴,如图7-9所示。
以θ(X,t)表示x处截面的转角,取微段dx,则在x+dx截面上的转角为,故微段两端的相对扭转角为,由材料力学知,轴的扭转应变为,x截面上的扭矩,在x+dx截面上的扭矩为,圆截面微段对x轴的转动惯性量IP=ρJPdx,根据定轴转动微分方程式可得
即
令a2=G/ρ,a为扭转弹性波的传播速度,则上式可写成
(7-13)
(7-13)式即为轴扭转自由振动微分方程,亦为波动方程,与前述杆的纵向自由振动及弦的横向自由振动方程的形式完全一样。
故解的形式也一样,只是以θ代替U或Y,现直接写出(7-13)的解
(x)(7-14)
式中(x)为主振型函数,pi及各个积分常数由边界条件及初始条件来确定。
[例7-4]图7-10所示为一端固定,另一端自由的等直圆截面轴,在自由端作用有扭矩M0,在t=0时突然释放,求系统的固有频率、主振型以及自由端的振幅。
1.轴端的边界条件:
x=0处,θ(0,t)=0;
x=L处,自由端的剪应力为零,即代入(7-14)式,可得D=0及。
由此可得固有频率
(i=1,2,……)
及相应的主振型
(x)=(i=1,2,……)
2.求自由端振幅:
求出一般情况下的运动规律。
代上式于(7-14)式得
(a)
根据给定的初始条件
代入(a)式,有
(b)
(c)
由(c)式要求任意给定的x都成立,必须Ai=0,由(b)式利用三角函数的正交性及(7-10)式,可得
(i=1,2,……)
代回(a)式,得系统响应
·
在自由端即x=L处振幅极大,且当时,θ为最大,即
7-4梁的横向自由振动
现在来讨论等截面细直梁的横向自由振动。
所谓梁的横向振动是指细直梁作垂直于轴线方向的振动,其主要的变形是梁的弯曲,因此亦称弯曲振动。
在分析这种振动时,假设梁具有对称平面,梁的轴线在振动过程中始终保持在此平面内,还假设梁的长度与横截面尺寸之比较大,可忽略转动惯量与剪切变形的影响。
同时假设梁作微幅振动,故可采用材料力学中梁弯曲的简化理论。
如图7-11所示,取梁未变形时的轴线方向为x轴(向右为正),在对称面内与x轴垂直的方向为y轴(向上为正),以横向位移y作为广义坐标,并设梁的横截面积为A,单位体积的质量为ρ,EJ为截面抗弯刚度。
现从梁上x截面处截取微元段dx,其受力状态如图示,图中所示弯矩M、剪力Q均按正方向表示,根据牛顿运动定律,在Y方向的运动方程为
即
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