高中数学全套讲义 选修11 抛物线初步基础 教师版.docx
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高中数学全套讲义 选修11 抛物线初步基础 教师版.docx
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高中数学全套讲义选修11抛物线初步基础教师版
考点一:
抛物线定义及标准方程
1.平面内与一个定点
和一条定直线
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点
叫做抛物线的焦点,定直线
叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程:
,焦点在
轴正半轴上,坐标是
,准线方程是
,其中
是焦点到准线的距离.
题型一:
抛物线定义
1.(2017秋•埇桥区期末)到直线
与到定点
的距离相等的点的轨迹是
A.椭圆B.圆C.抛物线D.直线
【分析】确定
的轨迹是以点
为焦点,直线
为准线的抛物线,即可得出结论.
【解答】解:
动点
到定点
的距离与到定直线
的距离相等,
所以
的轨迹是以点
为焦点,直线
为准线的抛物线,
故选:
.
【点评】本题主要考查了抛物线的定义,考查学生的计算能力,比较基础
2.(2018秋•商丘期末)
是抛物线
的一条焦点弦,
,则
中点
的横坐标是
A.2B.
C.
D.
【分析】先设出
,
的坐标,进而根据抛物线的定义可知
求得
的值,进而求得
的中点的横坐标.
【解答】解:
设
,
,
,
根据抛物线的定义可知
,
,
故选:
.
【点评】本题主要考查了抛物线的定义.在涉及抛物线的焦点弦问题时,常需要借助抛物线的定义来解决.
3.(2016秋•运城期末)正方体
中,
为侧面
所在平面上的一个动点,且
到平面
的距离与
到直线
距离相等,则动点
的轨迹为
A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线
【分析】根据正方体
,可得
等于
到
的距离,根据抛物线的定义,可得结论.
【解答】解:
平面
,
表示
到直线
距离相等
平面
平面
,
到平面
的距离等于
到
的距离
到平面
的距离与
到直线
距离相等,
等于
到
的距离
根据抛物线的定义,可知动点
的轨迹为抛物线
故选:
.
【点评】本题重点考查正方体的性质,考查抛物线的定义,解题的关键是得出
等于
到
的距离.
题型二:
抛物线标准方程
1.(2018秋•宜春期末)对抛物线
,下列描述正确的是
A.开口向上,焦点为
B.开口向上,焦点为
C.开口向右,焦点为
D.开口向右,焦点为
【分析】根据抛物线的标准方程及基本概念,结合题中的抛物线方程加以计算,即可到答案.
【解答】解:
抛物线的标准方程为
,
,
,解得
,
因此抛物线的焦点为
,准线为
,可得该抛物线的开口向上.
故选:
.
【点评】本题给出抛物线的方程,求它的开口方向和焦点坐标.着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识,属于基础题.
2.(2019春•玉山县校级月考)抛物线的准线为
,则抛物线的方程为
A.
B.
C.
D.
【分析】由已知可设抛物线方程为
,并求得
,则答案可求.
【解答】解:
抛物线的准线为
,
可知抛物线是开口向右的抛物线,设方程为
.
则
,
.
抛物线方程为
.
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的标准方程,是基础题.
3.(2019春•寿光市校级月考)已知抛物线
上的点
到焦点的距离是5,则抛物线的方程为
A.
B.
C.
D.
【分析】利用抛物线的定义可得
,从而可求
的值及抛物线方程
【解答】解:
由题意知,
,
,
抛物线方程为
.
故选:
.
【点评】本题主要考查了抛物线的定义的应用,属于对基本概念的考查,属于基础试题.
考点二:
抛物线的几何性质
1.范围:
抛物线在
轴的右侧,开口向右,向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性:
以
轴为对称轴的轴对称图形,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点:
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.此处为原点.
4.离心率:
抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率,用
表示,
.
一、抛物线方程的四种形式如下
标准方程
图形
对称轴
焦点坐标
准线方程
轴
轴
二、
抛物线的重要结论
标准方程:
;
焦点:
,通径
;准线:
;
焦半径:
,
过焦点弦长
题型三:
抛物线几何性质
1.(2019•河北模拟)已知抛物线
的焦点
在直线
上,则点
到
的准线的距离为
A.2B.4C.8D.16
【分析】根据抛物线的标准方程,将焦点
代入直线
方程算出
,即可得到结果;
【解答】解:
抛物线
的焦点为
,可得
,
因此点
到
的准线的距离为:
8;
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
2.(2019春•沙坪坝区校级月考)已知点
,
在抛物线
上,且点
到
的准线的距离与点
到
轴的距离相等,则
的值为
A.4B.3C.2D.1
【分析】由已知知点
到原点距离与到焦点距离相等,
,即可得出结论.
【解答】解:
由已知知点
到原点距离与到焦点距离相等,
,
由抛物线的定义可得点
到
的准线的距离即为
到
的焦点
的距离,
由题意可得
,
则
轴,可得
,
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的简单性质与定义,考查数学转化思想方法,是基础题.
3.(2019春•罗湖区校级月考)已知抛物线
的焦点为
,
为坐标原点,若抛物线
上存在点
,使得
,则
的值为
A.8B.6C.4D.2
【分析】方法一:
由
,得
在线段
的中垂线上,且到抛物线准线的距离为3,求解
即可;
方法二:
设则有
,代入方程转化求解即可.
【解答】解:
方法一:
由
,得
在线段
的中垂线上,
且到抛物线准线的距离为3,则有
.
方法二:
设则有
,则有
.
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查.
课后综合巩固练习
1.(2017秋•东胜区校级月考)下列抛物线中,焦点到准线距离最小的是
A.
B.
C.
D.
【分析】焦点到准线距离即为
,分别求得各个选项中的
,即可得到所求结论.
【解答】解:
焦点到准线距离即为
,
中的
;
中的
;
即为
中的
;
中的
.
可得焦点到准线距离最小的为
,
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查运算能力,属于基础题.
2.(2016秋•延安期末)过点
的抛物线的标准方程是
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
【分析】由题意设抛物线方程,代入点
,即可求得抛物线的标准方程.
【解答】解:
由题意设抛物线方程为
或
抛物线过点
或
或
或
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查分类讨论的数学思想,考查学生的计算能力
3.(2019•6月份模拟)已知点
在抛物线
上,且
为第一象限的点,过
作
轴的垂线,垂足为
,
为该抛物线的焦点,
,则直线
的斜率为
A.
B.
C.
D.
【分析】可以已知条件,设出
的坐标,通过抛物线的方程,求出直线的斜率即可.
【解答】解:
设
,
,因为
,
所以
,解得
,代入抛物线方程得
,
所以
,
,
,
从而直线
的斜率为
.
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力.
4.(2019春•民乐县校级月考)设抛物线
上一点
到
轴的距离是2,则点
到该抛物线焦点的距离是
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据题意,求出抛物线的标准方程,分析可得点
到准线的距离为4,由抛物线的定义分析可得答案.
【解答】解:
根据题意,抛物线的标准方程为
,则抛物线的准线方程为:
.
又因为点
到
轴的距离是2,则点
到准线的距离为4,
根据抛物线的定义可得:
点
到该抛物线焦点的距离是4;
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程,利用抛物线的定义是解题的关键.
5.(2019春•信州区校级月考)已知角
的终边经过点
,若点
在抛物线
的准线上,则
A.
B.
C.
D.
【分析】先求出准线方程,即可求出
的值,再根据三角函数的定义即可求出.
【解答】解:
抛物线
的准线方程为
,
角
的终边经过点
,
,
,
,
,
,
故选:
.
【点评】本题考查了抛物线的性质和三角函数的定义,属于基础题.
6.(2019春•南康区校级月考)抛物线
的焦点为
,
为坐标原点,
为抛物线上一点,且
,则
的面积为
A.
B.
C.
D.6
【分析】根据
为抛物线上一点,且
,可确定
的坐标,利用
的面积求解即可.
【解答】解:
由题意,
,准线方程为
,
,
.
的横坐标为
,
的纵坐标为
,
的面积为:
.
故选:
.
【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,解题的关键是确定
的坐标.
7.(2018秋•新化县校级月考)抛物线
上纵坐标为4的点
到其焦点
的距离为5,则点
到原点的距离为 .
【分析】由题意结合抛物线焦半径公式求得
,得到抛物线方程,进一步求得
的坐标,则答案可求.
【解答】解:
由题意,
,得
.
则抛物线方程为
,
得到
,
则
.
故答案为:
.
【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线定义的应用,训练了抛物线焦半径的求法,是基础题.
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