1对1讲义解直角三角形.doc
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1对1讲义解直角三角形.doc
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中小学个性化辅导专家
学海教育一对一个性化辅导讲义
学员姓名
学校
年级及科目
九年级数学
教师
课题
解直角三角形
授课时间:
18:
30--20:
30
教学目标
1.掌握并灵活应用各种关系解直角三角形.
2.了解测量中的概念,并能灵活应用相关知识解决某些实际问题.
教学内容
【基础知识梳理】
一.直角三角形的边角关系:
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边.
(1)三边之间的关系:
a2+b2=_____;
(2)两锐角之间的关系:
∠A+∠B=______;
(3)直角三角形斜边上的中线等于_______;
(4)在直角三角形中,30°角所对的边等于_______.
二.解直角三角形的四种类型:
已知条件
解法
两条直角边a、
c=______,
tanA=______,
∠B=_______.
一条直角边a和斜边c
b=______,
sinA=_____,
∠B=______.
一条直角边a和锐角A
c=_______,
b=_______,
∠B=_______
斜边c和锐角A
a=_______,
b=_______,
∠B=______
三、30°,45°,60°的三角函数值
a
30°
45°
60°
sina
cosa
tana
cota
视线
铅垂线
四、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
视线
(1)仰角和俯角
仰角
l
h
α
(2)坡度:
tana=____
俯角
水平线
α为坡角
b
A
C
a
┌
c
B
(3)方位角
五、解直角三角形:
(如图)
只有下面两种情况:
(1)已知两条边;
(2)已知一条边和一个锐角
1.已知a,b.解直角三角形(即求:
∠A,∠B及C边)
2.已知∠A,a.解直角三角形:
______________________________________.
3.已知∠A,b.解直角三角形:
________________________________________.
4.已知∠A,c.解直角三角形:
_____________________________________
【基础自测】
1.在△EFG中,∠G=90°,EG=6,EF=10,则cotE=( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,tanC的值是( )
A. B. C.1 D.
3.在△ABC中,若,,则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.如图18,在△EFG中,∠EFG=90°,FH⊥EG,下面等式中,错误的是( )
A. B.
C. D.
5.sin65°与cos26°之间的关系为( )
A.sin65°
6.已知30°<α<60°,下列各式正确的是( )
A.B.C. D.
7.已知0°<α<90°,当α=__________时,,当α=__________时,Cota=.
8.若,则锐角α=__________。
9.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为200,则乙看到甲的俯角为度。
10.已知一斜坡的坡度为1:
4,水平距离为20米,则该斜坡的垂直高度为。
【考点解析】
题型1三角函数
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则sinA的值为_______.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则cosA的值为______.
3.如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则cosA等于()
4.如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AC=,BC=2,那么sin∠ABC=()
A.
5.计算:
题型2解直角三角形
一、已知一条直角边和斜边
例1如图,在△ABC中、D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC。
分析:
由数形结合易知,△ABC是直角三角形,AF为斜边上的高线,CF是直角边AC在斜边上的射影,AC为所求,已知的另外两边都在△BDC中,且BD=DC=1,即△BDC是等腰三角形。
因此,可以过D作DE⊥BC,拓开思路。
由于DE,AF同垂直于BC,又可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得AC。
说明:
本题体现了基本图形基本性质的综合应用。
还应该注意,作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。
二、已知一条直角边和一个锐角
例2如图,若图中所有的三角形都是直角三角形,且∠A=α,AE=1,求AB的长。
分析一:
所求AB是Rt△ABC的斜边,但在Rt△ABC中只知一个锐角A=α,暂不可解。
而在Rt△ADE中,已知一直角边及一锐角是可解的,所以就从解Rt△ADE入手。
点评:
本题是由几个直角三角形组合而成的图形。
这样的问题,总是先解出已经具备条件的直角三角形,从而逐步创造条件,使得要求解的直角三角形最终可解。
值得注意的是,由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系,因而在解直角三角形时经常要用到。
变式训练:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边上的中线。
(1)若BD=,∠B=30°,求AD的长;
(2)若∠ABC=α,∠ADC=β,求证:
tanβ=2tanα。
题型3解斜三角形
1.如图6所示,已知:
在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC的面积(结果可保留根号).
2.如图,海上有一灯塔P,在它周围3海里处有暗礁,一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向,问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?
变式训练:
3.已知锐角△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=450,DC=1,且=3,则AB=。
4.已知△ABC中,AD是高,AD=2,DB=2,CD=2,则∠BAC=()
(A)1050(B)150(C)1050或150(D)600
题型4仰角和俯角
A
C
D
B
1.如图,河对岸有铁塔AB,在C处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进14米到达D,在D处测得A的仰角为45°,求铁塔AB的高。
甲
乙
A
C
300
B
D
2.下图为住宅区内的两幢楼,它们的高,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
当太阳光与水平线的夹角为30°时。
试求:
1)若两楼间的距离时,甲楼的影子,落在乙楼上有多高?
2)若甲楼的影子,刚好不影响乙楼,那么两楼的距离应当有多远?
变式训练
3.若地面上的甲看到高山上乙的仰角为200,则乙看到甲的俯角为度。
4.在高出海平面100米的山岩上一点A,看到一艘船B的俯角为300,则船与山脚的水平距离为()
(A)50米(B)200米(C)100米(D)米
课后作业
1.在△ABC中,∠C=90°,,则sinB的值是( )
A. B. C. D.
2.若平行四边形相邻两边的长分别为10和15,它们的夹角为60°,则平行四边形的面积是( )米2
A.150 B. C.9 D.7
3.如图19,铁路路基横断面为一个等腰梯形,若腰的坡度为i=2∶3,顶宽是3米,路基高是4米,则路基的下底宽是( )
A.7米 B.9米 C.12米 D.15米
4.如图20,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阻影部分)的面积为( )
A. B. C. D.1
二.填空题:
1.已知0°<α<90°,当α=__________时,,当α=__________时,Cota=.
2.若,则锐角α=__________。
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,,,则a=__________,b=__________,c=__________,cotA=__________。
4.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm,则底边上的高为__________cm,底角的余弦值为__________。
5.酒店在装修时,在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价30元,主楼梯宽2米,其侧面如图21所示,则购买地毯至少需要__________元。
三.解答题:
1.计算
2.如图22,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AD=AB,求tanD。
3.已知直角三角形中两条直角边的差是7cm,斜边的长是13cm,求较小锐角α的各三角函数值。
学生对于本次课的评价:
○特别满意○满意○一般○差
学生签字:
教师评定:
1、学生上次作业评价:
○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价:
○好○较好○一般
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- 讲义 直角三角形