线性代数课后习题答案全习题详解Word文件下载.docx
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(4)逆序数为3:
21,41,43
(5)逆序数为:
321个
52,542个
72,74,763个
…………………
2,4,6,…,个
(6)逆序数为
52,542个
…………………
421个
62,642个
3.写出四阶行列式中含有因子的项.
解由定义知,四阶行列式的一般项为,其中为的逆序数.
由于已固定,只能形如□□,即1324或1342.对应的分别为
或
和为所求.
4.计算下列各行列式:
(2);
(4)
解
(1)==
=0
(2)=0
(3)===
(4)=
5.证明:
(1)=;
(2)=;
(3);
(4);
(5).
证明
(1)
(2)
(3)
(4)=
=
(5)用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立,即
所以,对于阶行列式命题成立.
6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转,依次得
,,,
证明.
证明
同理可证
7.计算下列各行列式():
(1),其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0;
(2);
(3);
提示:
利用范德蒙德行列式的结果.
(4);
(5);
(6),.
(1)
()
(2)将第一行乘分别加到其余各行,得
再将各列都加到第一列上,得
(3)从第行开始,第行经过次相邻对换,换到第1行,第行经次对换换到第2行…,
经次行交换,得
此行列式为范德蒙德行列式
(4)
由此得递推公式:
即
而
得
(5)
(6)
8.用克莱姆法则解下列方程组:
解
(1)
;
.
9.有非零解?
解,齐次线性方程组有非零解,则
即得
不难验证,当该齐次线性方程组确有非零解.
10.有非零解?
齐次线性方程组有非零解,则
得
不难验证,当时,该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1已知线性变换
求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换
解由已知
故
2已知两个线性变换
求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换
所以有
3设求3AB2A及ATB
解
4计算下列乘积
(1)
解
(2)
解(132231)(10)
(3)
解
(4)
(5)
(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)
5设问
(1)ABBA吗?
解ABBA
因为所以ABBA
(2)(AB)2A22ABB2吗?
解(AB)2A22ABB2
因为
但
所以(AB)2A22ABB2
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解(AB)(AB)A2B2
因为
而
故(AB)(AB)A2B2
6举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20则A0
解取则A20但A0
(2)若A2A则A0或AE
解取则A2A但A0且AE
(3)若AXAY且A0则XY
解取
则AXAY且A0但XY
7设求A2A3Ak
8设求Ak
解首先观察
用数学归纳法证明
当k2时显然成立
假设k时成立,则k1时,
由数学归纳法原理知
9设AB为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵
证明因为ATA所以
(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB
从而BTAB是对称矩阵
10设AB都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA
证明充分性因为ATABTB且ABBA所以
(AB)T(BA)TATBTAB
即AB是对称矩阵
必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以
AB(AB)TBTATBA
11求下列矩阵的逆矩阵
解|A|1故A1存在因为
故
解|A|10故A1存在因为
所以
解|A|20故A1存在因为
(4)(a1a2an0)
解由对角矩阵的性质知
12解下列矩阵方程
(4)
13利用逆矩阵解下列线性方程组
(1)
解方程组可表示为
故
从而有
(2)
故有
14设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1
证明因为AkO所以EAkE又因为
EAk(EA)(EAA2Ak1)
所以(EA)(EAA2Ak1)E
由定理2推论知(EA)可逆且
(EA)1EAA2Ak1
证明一方面有E(EA)1(EA)
另一方面由AkO有
E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)
(EAA2Ak1)(EA)
故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)
两端同时右乘(EA)1就有
(EA)1(EA)EAA2Ak1
15设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1
证明由A2A2EO得
A2A2E即A(AE)2E
或
由定理2推论知A可逆且
由A2A2EO得
A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E
或
由定理2推论知(A2E)可逆且
证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得
|A2A|2
即|A||AE|2
故|A|0
所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆
由A2A2EOA(AE)2E
A1A(AE)2A1E
又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E
(A2E)(A3E)4E
所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1
16设A为3阶矩阵求|(2A)15A*|
解因为所以
|2A1|
(2)3|A1|8|A|18216
17设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*
证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有
|A*||A|n|A1||A|n10
从而A*也可逆
因为A*|A|A1所以
(A*)1|A|1A
又所以
(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*
18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明
(1)若|A|0则|A*|0
(2)|A*||A|n1
证明
(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得
AAA*(A*)1|A|E(A*)1O
所以A*O这与|A*|0矛盾,故当|A|0时有|A*|0
(2)由于则AA*|A|E取行列式得到
|A||A*||A|n
若|A|0则|A*||A|n1
若|A|0由
(1)知|A*|0此时命题也成立
因此|A*||A|n1
19设ABA2B求B
解由ABA2E可得(A2E)BA故
20设且ABEA2B求B
解由ABEA2B得
(AE)BA2E
即(AE)B(AE)(AE)
因为所以(AE)可逆从而
21设Adiag(121)A*BA2BA8E求B
解由A*BA2BA8E得
(A*2E)BA8E
B8(A*2E)1A1
8[A(A*2E)]1
8(AA*2A)1
8(|A|E2A)1
8(2E2A)1
4(EA)1
4[diag(212)]1
2diag(121)
22已知矩阵A的伴随阵
且ABA1BA13E求B
解由|A*||A|38得|A|2
由ABA1BA13E得
ABB3A
B3(AE)1A3[A(EA1)]1A
23设P1AP其中求A11
解由P1AP得APP1所以A11A=P11P1.
|P|3
24设APP
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