课时提升作业二十 25文档格式.docx
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C.若a⊥b,则a·
b=(a·
b)2
D.若|a|>
|b|,则a>
b
【解析】选C.对A,a·
b=0,a与b有可能为非零的垂直向量,故A错误.
对B,a·
b=0,则a⊥b,故B错误.
对C,若a⊥b,则a·
b=0,所以a·
b)2,故C正确.
对D,|a|>
|b|,由于a与b为向量,不是数量,不能比较大小,故D错误.
4.设e1和e2是夹角为60°
的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·
b等于
( )
A.-2B.-1C.1D.2
【解题指南】先求e1·
e2,再计算a·
b.
【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1,
e1·
e2=|e1||e2|cos60°
=1×
1×
=,
所以a·
b=(3e1+2e2)·
(-3e1+4e2)=-9|e1|2+
8|e2|2+6e1·
e2=-9×
12+8×
12+6×
=2.
5.已知|a|=2,|b|=5,a·
b=-3,则|a+b|等于 ( )
A.23B.35C.D.
【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·
=22+52+2×
(-3)=23.
所以|a+b|=,应选C.
【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=(a+b)2,再开方.求解时,易忘记开方,而误选A.
6.(2013·
宜春高一检测)关于菱形ABCD的下列说法中,不正确的是 ( )
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·
(-)=0
D.·
=·
【解析】选D.如图所示,对于选项A,∥正确,
对于选项B,+=,+=,由菱形对角线互相垂直知(+)⊥(+).
对于选项C,因为-=,-=,
又因为⊥,所以(-)·
(-)=0,
所以C正确.显然D不正确,因此选D.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·
平顶山高一检测)已知向量a与b的夹角为120°
且|a|=|b|=4,那么|a-3b|等于 .
【解析】|a-3b|=
==4.
答案:
4
8.向量a,b满足(a-b)·
(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b的夹角等于 .
【解析】设a与b的夹角为θ,因为|a|=2,|b|=4,(a-b)·
(2a+b)=-4,
所以2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=-4,
即8-8cosθ-16=-4,
所以cosθ=-.
又θ∈[0,π],所以θ=π.
π
9.(2014·
宝鸡高一检测)已知非零向量a与b的夹角为120°
若向量c=a+b,且c⊥a,则的值为 .
【解析】因为c=a+b,又c⊥a,所以c·
a=0,
即(a+b)·
a=0,所以a2+a·
b=0,
|a|2+|a||b|cos120°
=0,
所以|a|-|b|=0,所以=.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·
合肥高一检测)已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,求a与b的夹角.
【解析】设a与b的夹角为θ,
由(a-2b)⊥a,得(a-2b)·
a=0,即a2-2a·
由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·
b=0,即b2-2a·
所以a2=b2,即|a|=|b|,a·
b=a2,
cosθ===,
又因为θ∈[0,π],则得θ=.
【变式训练】已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直,试求k的最小值.
【解析】因为a⊥b,所以a·
又由已知得[a+(t-3)b]·
(-ka+tb)=0,
所以-ka2+t(t-3)b2=0,
因为|a|=2,|b|=1,
所以-4k+t(t-3)=0,
所以k=(t2-3t)=-(t≠0).
故当t=时,k取最小值-.
11.(2013·
南昌高一检测)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·
(a+b)=.
(1)求|b|.
(2)当a·
b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.
【解析】
(1)因为(a-b)·
(a+b)=,
即a2-b2=.
所以|b|2=|a|2-=,
所以|b|=.
(2)因为|a+2b|2=(a+2b)2
=|a|2+4a·
b+|2b|2
=1-1+1=1.
所以|a+2b|=1.
又因为a·
(a+2b)=|a|2+2a·
b=1-=,
所以cosθ==,
又0°
≤θ≤180°
所以θ=60°
.
一、选择题(每小题4分,共16分)
咸阳高一检测)若a为非零向量,a·
b=0,则满足此条件的向量b有
A.1个B.2个C.有限个D.无限个
【解析】选D.由已知a·
b=0,又a≠0,则满足条件的向量b除0外,还有无限个,与a垂直均符合要求,故选D.
【误区警示】本题易忽视a·
b=0⇒a⊥b,
而误认为只有b=0,而误选A.
榆林高一检测)已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·
(a+3b)=33,则a与b的夹角为 ( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.因为(a+b)·
(a+3b)=a2+4a·
b+3b2
=57+4a·
b=33,
b=-6.
设a与b的夹角为α,
则cosα===-,
≤α≤180°
所以α=120°
【变式训练】若向量a,b满足|a|=|b|=1,且(a+3b)·
(a+5b)=20,则向量a,b的夹角为 ( )
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选C.因为(a+3b)·
(a+5b)=a2+15b2+8a·
=16+8a·
b=20.
b=.设向量a,b的夹角为α,
则a·
b=|a||b|cosα=,
所以cosα=,所以α=60°
天津高考)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°
点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·
=1,·
=-,则λ+μ= ( )
A.B.C.D.
【解析】选C.因为∠BAD=120°
所以·
·
cos120°
=-2.
因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=μ+.
因为·
=1,
所以·
即2λ+2μ-λμ= ①
同理可得λμ-λ-μ=- ②,①+②得λ+μ=.
4.(2014·
阜阳高一检测)在△ABC中,若=a,=b,=c,且a·
b=b·
c=c·
a,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等边三角形D.以上都不对
【解析】选C.由a+b+c=++=0,
得a+b=-c,(a+b)2=c2,
即a2+b2+2a·
b=c2…①,同理可得b2+c2+2b·
c=a2…②
①-②得a2=c2,所以|a|=|c|,
同理可得|a|=|b|,
故△ABC为等边三角形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2013·
江西高考)设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为.若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为 .
【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=,进而问题转化为求向量a,b的数量积与向量b的模.
【解析】设a,b的夹角为θ,则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=|a|=,而a·
b=(e1+3e2)·
2e1=2+6cos=5,|b|=2,所以所求为.
6.(2014·
汉中高一检测)如图,A,B是函数y=3sin(2x+θ)的图象与x轴两相邻交点,C是图象上A,B间的最低点,则·
= .
【解析】设,的夹角为α,由已知可得||=,
=||·
||cosα=||·
||
=.
三、解答题(每小题12分,共24分)
安庆高一检测)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·
(2a+b)=61,
(1)求a·
b的值.
(2)求|a+b|的值.
(1)由(2a-3b)·
(2a+b)=61得
4a2-4a·
b-3b2=61.
又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,
代入上式得64-4a·
b-27=61,
(2)|a+b|2=a2+2a·
b+b2=16+2×
(-6)+9=13,
故|a+b|=.
【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.
b的值.
(2)求|a+b|的值.
(1)由|a-b|=2,得a2-2a·
b+b2=4,
b=.
b+b2=6,
所以|a+b|=.
8.(2014·
西安高一检测)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°
向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
【解析】因为(2ta+7b)·
(a+tb)
=2ta2+(2t2+7)a·
b+7tb2
=2t|a|2+(2t2+7)|a||b|cos60°
+7t|b|2
=8t+(2t2+7)+7t=2t2+15t+7.
由2t2+15t+7<
0⇒(2t+1)(t+7)<
0,
所以-7<
t<
-.考虑到此时二者夹角可能为π,而π不是钝角,应把这种情况排除,当夹角为π时,即共线反向时,2ta+7b=λ(a+tb)(λ<
0),所以⇒2t2=7.
因为λ<
0,所以t=-.
所以当t=-时,2ta+7b与a+tb的夹角为π.
故t的取值范围是∪.
【误区警示】解答本题时,易忽视2ta+7b与a+tb的夹角为π的情况,而得到t的范围是的错误.
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