届步步高大一轮复习讲义93文档格式.docx
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6.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)
(1)点在圆上:
(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
(2)点在圆外:
(x0-a)2+(y0-b)2>
r2;
(3)点在圆内:
(x0-a)2+(y0-b)2<
r2.
[难点正本 疑点清源]
1.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上;
(2)圆心在任一弦的中垂线上;
(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
2.圆的一般方程的特征
圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0,若化为标准式,即为2+2=.由于r2相当于.
所以①当D2+E2-4F>
0时,圆心为,半径r=.
②当D2+E2-4F=0时,表示一个点.
③当D2+E2-4F<
0时,这样的圆不存在.
1.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是______________.
答案
解析 方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0
转化为2+(y+a)2=-a2-a+1,
所以若方程表示圆,则有-a2-a+1>
0,
∴3a2+4a-4<
0,∴-2<
a<
.
2.(2011·
辽宁)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为________.
答案 (x-2)2+y2=10
解析 设圆心坐标为(a,0),易知=,解得a=2,∴圆心为(2,0),半径为,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
3.(2011·
四川)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )
A.(2,3)B.(-2,3)
C.(-2,-3)D.(2,-3)
答案 D
解析 圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为,即(2,-3).
4.(2012·
辽宁)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )
A.x+y-1=0B.x+y+3=0
C.x-y+1=0D.x-y+3=0
答案 C
解析 因为圆心是(1,2),所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
5.(2012·
湖北)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )
A.x+y-2=0B.y-1=0
C.x-y=0D.x+3y-4=0
答案 A
解析 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,
∴过点P垂直于OP的直线方程为x+y-2=0.
题型一 求圆的方程
例1 根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;
(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:
x+y-1=0相切于点P(3,-2).
思维启迪:
(1)求圆心和半径,确定圆的标准方程.
(2)设圆的一般方程,利用待定系数法求解.
解
(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P、Q点的坐标分别代入得
又令y=0,得x2+Dx+F=0.③
设x1,x2是方程③的两根,
由|x1-x2|=6有D2-4F=36,④
由①、②、④解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.
故所求圆的方程为
x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.
(2)方法一
如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,
∴x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,
故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
方法二 设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
探究提高 求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:
①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.②代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.
(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2
(2)经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为_________________.
答案
(1)B
(2)(x-4)2+(y-5)2=10
解析
(1)设圆心坐标为(a,-a),则=,即|a|=|a-2|,解得a=1,
故圆心坐标为(1,-1),半径r==,
故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则,
可得a=4,b=5,r2=10.
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值.
根据代数式的几何意义,借助图形来求最值.
解
(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,以为半径的圆.设=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,此时=,解得k=±
.故的最大值为,最小值为-.
(2)设y-x=b,即y=x+b,当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时=,即b=-2±
.故y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
探究提高 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
已知M为圆C:
x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.
解
(1)由C:
x2+y2-4x-14y+45=0可得(x-2)2+(y-7)2=8,∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4.
∴|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直线MQ的斜率,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.
由直线MQ与圆C有交点,所以≤2.
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-.
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM、ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
结合图形寻求点P和点M坐标的关系,用相关点法(代入法)解决.
解 如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,
故=,=.
从而.
N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:
(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况).
探究提高 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:
①直接法:
直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法:
根据圆、直线等定义列方程.
③几何法:
利用圆的几何性质列方程.
④代入法:
找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4
D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
x+y=4,连线中点坐标为(x,y),
则⇒,
代入x+y=4中得(x-2)2+(y+1)2=1.
利用方程思想求解圆的问题
典例:
(12分)已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
审题视角
(1)求圆心及半径,关键是求m.
(2)利用OP⊥OQ,建立关于m的方程求解.
(3)利用x1x2+y1y2=0和根与系数的关系或利用圆的几何性质.
规范解答
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.[2分]
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:
y1+y2=4,y1y2=.[4分]
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=.[6分]
故+=0,解得m=3,[9分]
此时Δ>
0,圆心坐标为,半径r=.[12分]
方法二 如图所示,设弦PQ中点为M,
∵O1M⊥PQ,∴kO1M=2.[2分]
∴O1M的方程为y-3=2,
即y=2x+4.[4分]
由方程组.
解得M的坐标为(-1,2).[6分]
则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.
∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,|MQ|2=r2.
在Rt△O1MQ中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2.
∴=2+(3-2)2+5.
∴m=3.[9分]
∴半径为,圆心为.[12分]
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.[2分]
由OP⊥OQ知,点O(0,0)在圆上.
∴m-3λ=0,即m=3λ.[4分]
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0.
即x2+(1+λ)x+y2+2(λ-3)y=0.[6分]
∴圆心M,又圆心在PQ上.
∴-+2(3-λ)-3=0,∴λ=1,∴m=3.[9分]
∴圆心为,半径为.[12分]
温馨提醒
(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值,即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.
(3)本题的易错点:
不能正确构建关于m的方程,找不到解决问题的突破口,或计算错误.
方法与技巧
1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式,进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何
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- 步步 高大 一轮 复习 讲义 93