(教师)一元二次方程综合培优.doc
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七中近几年考试真题
1、已知,则的值是(D)
A、2001B、2002C、2003D、2004
答案:
D
解:
由得:
2、已知,则.
答案:
2002
解:
由得:
,,
原式
3、若,且,,则.
答案:
解:
由得:
∵,即
∴把a和作为一元二次方程的两根
∴
4、已知方程没有实数根,则代数式.
答案:
2
分析:
由方程没有实数根,得,求的a的范围,然后根据此范围化简代数式。
解:
∵已知方程没有实数根
∴,即,,得
则代数式
5、已知,则y的最大值为.
答案:
分析:
此题只需先令,用x表示t,代入求y关于t的二次函数的最值即可。
解:
令,
则
又,且y关于t的二次函数开口向下,则在处取得最大值
即y最大值为,即
6、已知,,,则()
A、B、C、D、
答案:
B
分析:
由,,,得到a,b两个负数,再由,,这样可以把a,b看作方程的两根,根据根的判别式得到,解得,然后由得到.
解:
∵,,
∴,,
∴,
∴可以把a,b看作方程
∴,解得
∴,即
7、已知,,则.
答案:
0
分析:
本题乍看下无法代数求值,也无法进行因式分解;但是将已知的两个式子进行适当变形后,即可找到本题的突破口。
由可得;将其代入得:
;此时可发现正好符合完全平方公式,因此可用非负数的性质求出b、c的值,进而可求得a的值;然后代值运算即可。
解:
∵
∴
又∵
∴,即
∴,
∴
∴
8、已知,则.
答案:
分析:
根据已知条件可得到,然后整体代入代数式求值计算即可。
解:
∵
∴
∴原式
9、已知,,则.
答案:
0
分析:
先将字母b表示字母a,代入,转化为非负数和的形式,根据非负数的性质求出a、b、c的值,从而得到的值。
解:
∵
∴
代入,可得(,即
∴,
∴
∴
10、若方程的二根为,,且,,则()
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
答案:
A
分析:
方程的二根为,,根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解:
∵方程的二根为,
∴,
∵,
∴
∴
∴
∵
∴
归纳:
考查了根与系数的关系,关键掌握,是方程的两根时,,.
11、已知是方程的一个根,则的值为.
答案:
分析:
根据已知条件可得到,即然后整体代入代数式求值计算即可。
解:
∵是方程的一个根
∴,即
∴原式
点评:
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解,根据已知条件,整体代值计算。
12、若,则()
A、2011B、2010C、2009D、2008
答案:
B
分析:
将化简为,整体代入变形的式子,计算即可求解.
解:
∵,即
∴
13、方程的解为.
答案:
解:
两边同时平方得:
整理得:
再平方得:
解得:
14、已知,则的最大值是()
A、14B、15C、16D、18
答案:
B
分析:
由得代入,通过二次函数的最值,求出它的最大值。
解:
化为,,
故
二次函数开口向下,当时表达式取得最大值
由于
所以时此时,表达式取得最大值:
15
15、方程恰有3个实根,则()
A、1B、1.5C、2D、2.5
答案:
C
分析:
因为方程中带有绝对值符号,所以讨论方程的根分两种情况:
当时,原方程为;当时,原方程为.
解:
当时,原方程为:
,化为一般形式为:
用求根公式得:
当时,原方程为:
,化为一般形式为:
用求根公式得:
∵方程的根恰为3个,而当时,方程的3个根分别是,,.
16、方程的全体实数根之积为()
A、60B、C、10D、
答案:
A
分析:
设,原方程化成,再整理成整式方程求解即可。
解:
设,则
∴,解得,
当时,,解得
当时,,解得或
∴
17、关于x的一元二次方程(a为常数)的两根之比,则()
A、1B、2C、D、
答案:
C
解:
设的两根分别为,,由根与系数的关系得:
,
∴,
∴
18、已知是、方程的两个实根,则.
答案:
5
分析:
由方程的根的定义,可知,移项,得,两边平方,整理得①;由一元二次方程根与系数的关系,可知②;将①②两式分别代入,即可求出其值。
解:
∵是方程的根
∴
∴
∴
又∵、方程的两个实根
∴
∴
19、若关于x的方程只有一解,求a的值。
答案:
或
分析:
先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出a的值。
解:
原方程化为①
(1)当时,原方程有一个解,
(2)当时,方程①,总有两个不同的实数根,由题意知必有一个根是原方程的增根,从原方程知增根只能是0或1,显然0不是①的根,故,得.
综上可知当时,原方程有一个解,,时,.
成都四中考试真题一元二次方程
1、若,则的值为()
A、3B、4C、5D、6
答案:
4
解:
∵
∴
归纳:
本题关键是将作为整体,然后将进行因式分解变形解答。
2、已知实数、满足,,且,则的值为()
A、1B、3C、-3D、10
答案:
D
解:
由得:
,即,
∵,即
∴把和作为一元二次方程的两根
∴,,即
∴
3、实数x、y满足方程,则y最大值为()
A、B、C、D、不存在
答案:
B
分析:
先把方程变形为关于x的一元二次方程,由于此方程有解,所以,这样得到y的不等式,解此不等式,得到y的取值范围,然后找到最大值。
解:
把看作为关于x的,并且此方程有解,所以,即
∴,
∴
故y的最大值是
点评:
本题考查了一元二次方程(,a,b,c为常数)根的判别式。
当,方程有两个不相等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根。
同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。
4、方程的正根的个数为()
A、3个B、2个C、1个D、0个
答案:
D
分析:
此题实质是求函数和函数的图象在一、四象限有没有交点,根据两个已知函数的图象的交点情况,直接判断。
解:
设函数,函数
∵函数的图象在一、三、四象限,开口向下,顶点坐标为(1,1),对称轴
函数的图象在一、三象限;而两函数在第一象限没有交点,交点在第三象限
即方程的正根的个数为0个。
5、方程的所有整数解的个数是()
A、2B、3C、4D、5
答案:
C
分析:
方程的右边是1,有三种可能,需要分类讨论。
第1种可能:
指数为0,底数不为0;第2种可能:
底数为1;第3种可能:
底数为,指数为偶数。
解:
(1)当,时,解得;
(2)当时,解得或1;(3)当,为偶数时,解得
因而原方程所有整数解是,,1,共4个。
6、已知关于x的方程的两根分别为和1,则方程的两根为()
A、和1B、和1C、和D、和
答案:
B
分析:
因为方程的两个根为和1,所以方程可以方程因式为,用含a的式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
解:
∵的两根为和1
∴
整理得:
∴,
把b,c代入方程,得:
∴,
7、实数x、y满足,记,则u的取值范围是()
A、B、C、D、
答案:
A
分析:
把原式的xy变为,根据完全平方公式特点化简,然后由完全平方式恒大于等于0,得到xy的范围;再把原式中的xy变为,同理得到xy的另一个范围,求出两范围的公共部分,然后利用不等式的基本性质求出的范围,最后利用已知表示出,代入到u中得到,的范围即为u的范围。
解:
由得:
即,则
由得:
即,则
∴
∴不等式两边同时乘以得:
两边同时加上2得:
,即
∵
∴
∴
则u的取值范围是
8、已知实数m,n满足,,则.
分析:
根据题意:
由得:
;由得:
,又因为,即,因此可以把,作为一元二次方程的两根,由根与系数的关系得:
.
解:
∵,
∴,
∵
∴
∴把,作为一元二次方程的两根
∴
9、已知方程的两实根的平方和等于11,k的取值是()
A、或1B、C、1D、3
答案:
C
分析:
由题意设方程两根为,,得,,然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值。
解:
设方程两根为,
得,,
∴
∵
∴
∴
解得或
∵
10、设a,b是整数,方程有一个实数根是,则.
答案:
分析:
一个根代入方程,得到a,b等式,再由a,b是整数,可以求出a,b的值。
解:
,把代入方程有:
∵a,b是整数
∴
∴
∴
归纳:
本题考查的是一元二次方程的解,把方程的解代入方程,由a,b是整数就可以求出a,b的值。
11、已知函数,(b,c为常数),这个函数的图象与x轴交于两个不同的两点A(,0)和B(,0)且满足.
(1)求证:
(2)若,试比较与的大小,并加以证明。
分析:
(1)首先利用求根公式求出x的值,再由求解;
(2)已知推出.根据推出答案。
证明:
(1)∵令中得到
∴
又
∴
∴
∴
(2)由已知
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
即
12、已知关于x的方程有两个不相等的实数根和,并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。
(1)求实数a的取值范围;
(2)当时,求a的值。
分析:
(1)由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围。
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(,0)、(,0),且,∴、是的两个不相等的实数根,再利用的根的判别式求a的取值范围,又∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁,利用根与系数的关系确定;
(2)把代数式变形后,利用根与系数的关系求出a的值。
解:
(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根
∴
解得:
,且①
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为(,0)、(,0),且
∴、是的两个不相等的实数根
∵
∴a为任意实数②
由根与系数关系得:
,
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁
∴,
∴
∴
∴
解得:
③
由①、②、③得a的取值范围是
(2)∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根
∴,
∵
∴
∴
不妨设,
∴
∴,即
∴
解这个方程,
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