届河南省顶级名校高三尖子生诊断性检测数学理试题解析版Word格式.docx
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A.恒等于1B.最大值为1,无最小值
C.最小值为1,无最大值D.无最大值,也无最小值
【答案】C
【解析】设,(),由可得,由即可求解.
设,(),
所以,
即,
解得,
所以有最小1,无大值.
C
本题主要考查了复数的概念,复数的模,属于中档题.
4.某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的表面积(单位:
cm2)是()
A.16B.32C.44D.64
【答案】B
【解析】由三视图还原原几何体如图,该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.然后由直角三角形面积公式求解.
解:
由三视图还原原几何体如图,
该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.
则.
该几何体的表面积.
.
本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.
5.已知,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】构造函数,利用函数的奇偶性和单调性,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
设,
则函数是偶函数,当时,为增函数,
若,即
可得,
平方得,即,
由,
即,且,
则成立,即充分性成立,
当时,满足,且,
但,即必要性不成立,
故“”是“”的充分不必要条件.
A
本题主要考查了充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键,属于中档题.
6.函数y=ln|x|·
cos(-2x)的图像可能是()
A.B.
C.D.
【解析】根据函数的奇偶性,和特殊值,可判断。
所以函数是奇函数,关于原点对称,故排除;
当时,故故排除
本题考查函数的奇偶性及已知函数解析式确定其函数图象问题,属于基础题。
7.已知两个不相等的非零向量,,满足,且与-的夹角为60°
,则的取值范围是()
【解析】设,,由已知与的夹角为可得,由正弦定理得,从而可求的取值范围
设,,,
如图所示:
则由
又与的夹角为,
又由
由正弦定理得
本题主考查了向量的减法运算的三角形法则,考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质,属于中档题.
8.已知随机变量ξ的分布列,则下列说法正确的是()
A.存在x,y∈(0,1),E(ξ)>
B.对任意x,y∈(0,1),E(ξ)≤
C.对任意x,y∈(0,1),D(ξ)≤E(ξ)D.存在x,y∈(0,1),D(ξ)>
【解析】表示出期望与方差,利用基本不等式证明不等关系。
依题意可得,
因为
所以即故,错误;
即,故成立;
故错误
本题考查简单随机变量的分布列中期望和方差的运算,属于难题。
9.设函数,若,则的取值范围是
【解析】由题意构造新函数,结合所给条件和函数的性质确定的取值范围即可.
令,其中,
取可得
由可得:
,
将代入可得:
故选A.
本题主要考查构造函数解题的方法,整体代换的数学思想等知识,属于比较困难的试题.
10.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是()
【解析】设过且与一条渐近线平行的直线的方程,依题意在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,可求出与的关系,即可求出离心率的取值范围。
双曲线的渐近线为,由极限思想,设过且与一条渐近线平行的直线的方程为即,依题意若在双曲线右支上存在点P,使得点到直线的距离为,则点到直线距离大于,即
即
本题考查双曲线中离心率的范围的求解,极限思想的运用,属于中档题。
11.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°
,E,F分别是边AB,CD的中点,现将△ABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为()
【解析】建立空间直角坐标系,设二面角为,用含的式子表示点坐标,利用向量法表示出线面角的正弦值的平方,构造函数利用函数的单调性求出,即可求出线面角的正切值的最大值。
如图,
以的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,设二面角为,可证,设棱形的边长为,则,,,,,
易知平面的法向量
设直线与平面所成角为,则
令,
则时即在上单调递增;
时即在上单调递减;
则
本题考查利用空间向量法求线面角的最值问题,综合性比较强,难度比较大。
12.己数列{an}满足a1=1,an+1=lnan++1,记Sn=[a1]+[a2]+·
·
+[an],[t]表示不超过t的最大整数,则S2019的值为()
A.2019B.2018C.4038D.4037
【解析】首先求出数列的前几项,猜想时构造函数证明猜想是正确的,即可求出.
依题意得,,
可猜想时
证明:
令
可得在单调递减,在单调递增.
,满足条件,故猜想正确;
本题考查由递推公式求数列的和,综合性较强,难度比较大。
二、填空题
13.上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________
【答案】
【解析】由直线y=kx与圆相交得
所以概率为.
14.如图,在△ABC中,AB>
AC,BC=,A=60°
,△ABC的面积等于,则角平分线AD的长等于__________.
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求,由余弦定理可得,联立解得:
,根据余弦定理可求的值,利用角平分线可得,结合,解得的值,在中,由余弦定理可得的值.
,,的面积等于,
解得:
,①
由余弦定理,
可得:
,
,②
由①②联立解得:
,或(由于,舍去).
,为角平分线,可得,且,
在中,由余弦定理可得:
故答案为:
.
本题主要考查了三角形的面积公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
15.已知数列满足,其前项和为,若恒成立,则的取值范围为__________.
【解析】根据题意设,由递推关系表示出,要使恒成立,则,解得即可.
则,,,,,,,
可知数列的奇数项是递减的,且偶数项也是递减的,
且当时,,
当时,,
要使恒成立,则,
解得,即,
本题主要考查了数列的递推关系式及数列前n项和的性质,属于难题.
16.已知P为椭圆C:
上一个动点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点,O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若,则d=__________.
【解析】计算,的值得出点坐标,再求出切线方程,利用点到直线的距离公式计算.
设,,则,
不妨设在第一象限,则,,
故以为圆心以为半径的圆为:
以为圆心以为半径的圆为:
①②得:
,代入椭圆方程可得:
故,,
当时,由得,故,
椭圆在处的切线的斜率.
切线方程为:
,即,
原点到切线的距离.
本题考查了椭圆的性质,切线的求法,点到直线的距离应用,属于中档题.
三、解答题
17.已知函数f(x)=sinx-cosx
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(B)=,b=3,求△ABC面积的最大值.
(1),;
(2).
【解析】
(1)利用辅助角公式将函数化简,根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间;
(2)由
(1)可求利用余弦定理及重要不等式,可求面积最大值。
(1)令,解得
故函数的单调递增区间为,
(2)由
或,
是三角形的内角,
当且仅当时,的面积取最大值是
本题考查三角函数的性质,余弦定理在解三角形中的应用,属于一般题。
18.如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,BC=2AD,AD⊥CD,PD⊥平面ABCD,E为PB的中点.
(1)求证:
AE//平面PDC;
(2)若BC=CD=PD,求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.
(1)证明见解析;
(2)
(1)取的中点,连结、,推导出四边形是平行四边形,从而,由此能证明平面.
(2)推导出,由,得,再推导出,,从而平面,,,,进而平面,连结,,则就是直线与平面所成角,由此能求出直线与平面所成角的余弦值.
(1)证明:
取的中点,连结、,
是的中点,,且,
,,,且,
四边形是平行四边形,,
又平面,平面.
(2)解:
,是等腰三角形,
,又,,
平面,平面,
,又,平面,
平面,,,
又,平面,
连结,,则就是直线与平面所成角,
在中,解得,,,
在中,解得,
在中,,
直线与平面所成角的余弦值为.
本题考查线面平行的证明,考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
19.已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球,现从甲,乙两个盒内各取2个球.
(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;
(2)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望.
(1);
(2)分布列见解析,
(1)设事件“从甲盒内取出的个红球;
事件为“从乙盒内取出的个红球”,表示出事件的概率,取出的4个球中恰有1个红球的,包含两个基本事件,利用互斥事件和概率计算公式计算;
(2)为取出的4个球中红球的个数,则可能的取值为0,1,2,3,4,结合
(1)中信息分别求出相应的概率,写出分布列即可.
事件为“从乙盒内取出的个红球”
则,
设事件为“取出的4个球中恰有1个红球”,
取出的4个球中恰有1个红球的概率为,
(2)可能的取值为0,1,2,3,4.
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