高中数学人教课标版22《导数及其应用》章末提升测评文档格式.docx
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7.(2015安徽,15,5分,★★★)设,其中均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是_____.(写出所有正确条件的编号)
;
;
⑤.
三、解答题(本大题共6小题,共49分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
8.(2017课标全国III,21,12分,★★★)已知函数.
(1)若,求的值;
(2)设为整数,且对于任意正整数,求的最小值.
9.(2017山东,20,13分,★★★)已知函数,其中是自然对数的底数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)令讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
10.(2016课标全国I,21,12分,★★★)已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围;
(2)设是的两个零点,证明:
.
11.(2016课标全国II,21,12分,★★★)
(1)讨论函数的单调性,并证明当时,;
(2)证明:
当时,函数有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
参考答案
一、选择题
1.
答案:
A
解析:
设函数的图象上的两点分别为,且,则由题意知只需函数满足即可.的导函数为,则,故函数具有性质;
的导函数为,则,故函数;
不具有性质;
的导函数为,则,故函数不具有性质;
的导函数为,则,故函数不具有性质.故选A.
2.
D
由,即,得.
当时,得,显然不成立,所以.
若,则.
令,则
当时,为减函数,
当时,为增函数,
要满足题意,则,
此时需满足,得,与矛盾,
所以
因为,所以.
易知,当时,为增函数,
要满足题意,则,此时需满足,
得(满足).故选D.
3.
C
构造函数
则在上为增函数.
,则
而
即
所以选项C错误,故选C.
4.
(1)当时,显然有两个零点,不符合题意.
(2)当时,,令,解得.
当时,,所以函数在和上为增函数,在上为减函数,因为存在唯一零点,且,则,即,不成立.
当时,,所以函数
在和上为减函数,在上为增函数,
因为存在唯一零点,且,
所以,即,解得或,又,
故的取值范围为.
综上,的取值范围为.选C.
二、填空题
5.
见解析
易知函数的定义域关于原点对称.
为奇函数,
又(当且仅当时,取“”)
从而在上单调递增,
解得
6.
①若,则
当时,;
当时,,
当时,是增函数,当时,是减函数,
的最大值为2.
②在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象,如图所示,当时,无最大值;
当时,.
综上,当时,无最大值.
7.
设.
当时,,令,得或;
令,得,故在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,又,故方程只有一个实根,故①正确.
当时,,易知在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,又时,,从而方程有两个根,故②错误.
当时,,易知
的极大值为,极小值为时,,故方程有且仅有一个实根,故③正确.
当时,,显然方程有且仅有一个实根,故④正确.
当时,,则在上为增函数,易知的值域为,故有且仅有一个实根,故⑤正确.
综上,正确条件的编号为①③④⑤.
三、解答题
8.
(1)的定义域为.
①若,因为,所以不满足题意;
②若,由知,当
时,;
所以在上单调递减,在上单调递增,
故是在内的唯一最小值点.
由于,所以当且仅当时,.
综上,.
(2)由
(1)知当时,.
令,得.
从而.
故.
所以的最小值为3.
9.
(1)由题意得,
又,所以,
因此曲线在点处的切线方程为,
即.
(2)由题意得,
,
令,则,
所以在上单调递增.
因为,
所以当时,;
①当时,,
当时,单调递减,
当时,单调递增,
所以当时,取极小值,极小值是.
②当时,,
由得
(i)当时,,
当时,单调递增;
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以当时,取极大值,极大值为
当时,取得极小值,极小值是.
(ii)当时,,
所以当时,,函数在上单调递增,无极值.
(iii)当时,,
所以当时,单调递增;
当时,单调递减;
所以当时,取极大值,极大值是;
当时,取极小值,
极小值是
综上所述,
当时,在上单调递减,在上单调递增,
函数有极小值,极小值是;
当时,函数在和上单调递增,
在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,
极大值是,
极小值是;
当时,函数在上单调递增,无极值;
当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数有极大值,也有极小值,极大值是,极小值是.
10.
答案:
(l).
(i)设,则只有一个零点.
(ii)设,则当时,;
当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.
又,设满足且,
则,
故存在两个零点.
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,
因此在上单调递增.又当时,
所以不存在两个零点.
若,则,故当时,;
因此在上单调递减,在上单调递增.
又当时,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
(2)证明:
不妨设.由
(1)知,
上单调递减,
所以等价于,
由于,
而,
设,
则.
所以当时,,而,
故当时,.
从而,
11.
(l)的定义域为.
当且仅当时,,
因此当时,,
所以,
由
(1)知,单调递增,对任意,
有.
因此,存在唯一,使得,即.
因此在处取得最小值,
最小值为.
于是,由,得单调递增.
所以,由,得.
因为单调递增,对任意,
存在唯一的,使得.
所以的值域是.
综上,当时,有最小值的值域是.
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- 导数及其应用 高中 学人 教课 22 导数 及其 应用 提升 测评