高考数学理科一函数与方程思想数形结合思想文档格式.docx
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1),则g′(x)=.
又0<
1,∴g′(x)<
0,
∴函数g(x)在(0,1)上是减函数.
1,∴g(x1)>
g(x2),
∴,故选C.
2.已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x),满足g′(x)-g(x)<
0,若函数g(x)的图象关于直线x=2对称,且g(4)=1,则不等式>
1的解集为________.
答案 (-∞,0)
解析 ∵函数g(x)的图象关于直线x=2对称,
∴g(0)=g(4)=1.
设f(x)=,
则f′(x)==.
又g′(x)-g(x)<
0,∴f′(x)<
∴f(x)在R上单调递减.
又f(0)==1,∴f(x)>
f(0),∴x<
0.
3.已知f(t)=log2t,t∈[,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+mx+4>
2m+4x恒成立,则x的取值范围是__________________.
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
解析 ∵t∈[,8],∴f(t)∈.
问题转化为m(x-2)+(x-2)2>
0恒成立,
当x=2时,不等式不成立,∴x≠2.
令g(m)=m(x-2)+(x-2)2,m∈.
问题转化为g(m)在上恒大于0,
则即
解得x>
2或x<
-1.
4.若x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案 [-6,-2]
解析 当-2≤x<
0时,不等式转化为a≤.
令f(x)=(-2≤x<
0),
则f′(x)==,
故f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
此时有a≤f(x)min=f(-1)==-2.
当x=0时,不等式恒成立.
当0<
x≤1时,a≥,
则f(x)在(0,1]上单调递增,此时有a≥f(x)max=f
(1)==-6.
综上,实数a的取值范围是[-6,-2].
二、函数与方程思想在数列中的应用
数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;
等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.
5.已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d等于( )
A.-B.- C.D.
答案 D
解析 设等差数列的首项为a1,公差为d,则即
解得d=.
6.已知在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大值为( )
A.-3B.-1C.3D.1
解析 当n≥2时,Sn=an,Sn-1=an-1,
两式作差可得an=an-an-1,
即==1+.
由函数y=1+在(1,+∞)上是减函数,可得在n=2时取得最大值3.
7.在等差数列{an}中,若a1<
0,Sn为其前n项和,且S7=S17,则Sn取最小值时n的值为____.
答案 12
解析 由已知得,等差数列{an}的公差d>
0,
设Sn=f(n),则f(n)为二次函数,
又由f(7)=f(17)知,f(n)的图象开口向上,关于直线n=12对称,
故Sn取最小值时n的值为12.
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=-2,S6=3,则nSn的最小值为________.
答案 -9
解析 由解得a1=-2,d=1,
所以Sn=,故nSn=.
令f(x)=,则f′(x)=x2-5x,
令f′(x)=0,得x=0或x=,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增.
又∵n是正整数,故当n=3时,nSn取得最小值-9.
三、函数与方程思想在解析几何中的应用
解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想;
直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;
求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答.
9.(2016·
全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2B.4C.6D.8
答案 B
解析 不妨设抛物线C:
y2=2px(p>
0),圆的方程设为x2+y2=r2(r>
0),如图,
又可设A(x0,2),D,
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,∴8=2px0,①
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,∴x+8=r2,②
点D在圆x2+y2=r2上,∴5+2=r2,③
联立①②③,解得p=4(负值舍去),即C的焦点到准线的距离为p=4,故选B.
10.如图,已知双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P,Q两点,若∠PAQ=60°
,且=3,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
解析 因为∠PAQ=60°
,|AP|=|AQ|,
所以|AP|=|AQ|=|PQ|,设|AQ|=2R,
又=3,则|OP|=|PQ|=R.
双曲线C的渐近线方程是y=x,A(a,0),
所以点A到直线y=x的距离d==,
所以2=(2R)2-R2=3R2,
即a2b2=3R2(a2+b2),
在△OQA中,由余弦定理得,
|OA|2=|OQ|2+|QA|2-2|OQ||QA|cos60°
=(3R)2+(2R)2-2×
3R×
2R×
=7R2=a2.
由得
所以双曲线C的离心率为e======.
11.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>
0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E,F两点.若=6,则k的值为________.
答案 或
解析 依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>
0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<
x2,且x1,x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=.
由=6知,x0-x1=6(x2-x0),
得x0=(6x2+x1)=x2=.
由点D在AB上知x0+2kx0=2,得x0=.
所以=,
化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.
12.已知直线l:
y=k(x+1)与抛物线C:
y2=4x交于不同的两点A,B,且以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F,则k=________.
答案 或-
解析 点F的坐标为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),
当k=0时,l与C只有一个交点,不合题意,因此k≠0.
将y=k(x+1)代入y2=4x,
消去y,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,①
依题意知,x1,x2是①的不相等的两个实根,
则
由以AB为直径的圆过F,得AF⊥BF,
即kAF·
kBF=-1,
所以·
=-1,即x1x2+y1y2-(x1+x2)+1=0,
所以x1x2+k2(x1+1)(x2+1)-(x1+x2)+1=0,
所以(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2=0,③
把x1+x2=,x1x2=1代入③得2k2-1=0,解得k=±
,
经检验k=±
适合②式.
综上所述,k=±
.
一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用
讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数.
1.(2018·
咸阳模拟)函数f(x)=2x-的零点个数为( )
A.0B.1 C.2D.3
解析 在同一平面直角坐标系下,作出函数y1=2x和y2=的图象,如图所示.
函数f(x)=2x-的零点个数等价于2x=的根的个数,
等价于函数y1=2x和y2=图象的交点个数.
由图可知只有一个交点,所以有一个零点.故选B.
2.若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为________.
答案
解析 x=0是方程的一个实数解;
当x≠0时,方程=kx2
可化为=(x+4)|x|,x≠-4,k≠0,
设f(x)=(x+4)|x|(x≠-4且x≠0),y=,
则两函数图象有三个非零交点.
f(x)=(x+4)|x|=的大致图象如图所示,
由图可得0<
<
4,解得k>
所以k的取值范围为.
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(-x-1)=f(x-1),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,则关于x的方程f(x)=|cosπx|在上的所有实数解之和为________.
答案 -7
解析 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[-1,0]时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1=f(x)与y2=|cosπx|的图象如图所示.
由图象知关于x的方程f(x)=|cosπx|在上的实数解有7个.
不妨设x1<
x3<
x4<
x5<
x6<
x7,
则由图得x1+x2=-4,x3+x5=-2,x4=-1,x6+x7=0,
所以方程f(x)=|cosπx|在上的所有实数解的和为-4-2-1+0=-7.
4.(2018·
石嘴山模拟)已知函数f(x)则方程f(x)=ax恰有两个不同的实根时,实数a的取值范围是________.
解析 画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,要使直线y=ax与函数f(x)有两个交点,当y=ax与y=+1平行时,显然有两个交点,此时a=.当a>
时,只需求出当直线y=ax和曲线y=lnx相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个,故结合图象知,实数a的取值范围是.
二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
构建函数模型,分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.
5.(2018·
全国Ⅰ)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
解析 方法一 ①当即x≤-1时,
f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,即-(x+1)<-2x,解得x<1.
因此不等式的解集为(-∞,-1].
②当时,不等式组无解.
③
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