用MATLAB进行抛体运动中探讨模拟Word文件下载.docx

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水平方向速度（5）

竖直方向速度（6）

水平方向位移（7）

竖直方向位移（8）

合速度（9）

合速度方向与水平夹角：

（10）

合位移（11）

位移方向与水平夹角：

（12）

三、抛体运动的分析

1、斜抛运动的理论分析

忽略空气阻力情况下的抛射体运动是普通物理学中的一个常见问题，在高中物理教材中已有涉及，解决该问题的方法较多，分析的角度也有不同，运用的数学方法也是从初等数学到高等数学而不断深入，对该问题的分析往往是通过运用各种力学原理，推导出该运动的射程，飞行高度，飞行时间以及飞行路径曲线形状等公式，但其数值求解过程比较复杂，因此，对不具备较好高等数学基础的同学来说是较困难的。

设某一抛射体的初速度为，抛射角为，将其运动在X,Y轴上进行正交分解，水平方向速度（13）

竖直方向（14）

质点的坐标是（15）

（16）

从上两式消去，便得质点的轨迹运动方程（17）

抛射体能达到的最大高度为（18）

其到达最大高度所需时间为（19）

空中飞行时间为（20）

抛射体的最大射程为（21）

它跟初速度和抛射角有关，在抛射角不变的情况下，射程与成正比，所以射程随初速度的增大而增大。

在初速度不变的情况下，随着抛射角的增大，射程也增大，当度时，，射程达到最大值，以后随着抛射角的增大，射程减小。

利用MATLAB的绘图功能，可以更直观的体现上述结论。

x=linspace（0,pi/2,100）;

%产生行向量发射角

g=10;

%重力加速度

v1=10;

%初速度取10

v3=20;

%初速度取20

v4=25;

%初速度取25

y1=v1^2*sin（2*x）/g;

%初速度为10下的射程

y2=v2^2*sin（2*x）/g;

%初速度为15下的射程

y3=v3^2*sin（2*x）/g;

%初速度为20下的射程

y4=v4^2*sin（2*x）/g;

%初速度为25下的射程

subplot（2,2,1）;

%选择2*2个区的一号区

plot（x,y1）;

%输出初速度为10下的射程曲线

title（'

v0=10'

）;

%加图形标题

text（pi/4,10,'

射程为10'

%在最大射程处加图形说明

subplot（2,2,2）;

%选择2*2个区的二号区

plot（x,y2）;

%输出初速度为15下的射程曲线

v0=15'

text（pi/4,22.5,'

射程为22.5'

subplot（2,2,3）;

%选择2*2个区的三号区

plot（x,y3）;

%输出初速度为20下的射程曲线

v0=20'

text（pi/4,40,'

射程为40'

subplot（2,2,4）;

%选择2*2个区的四号区

plot（x,y4）;

%输出初速度为25下的射程曲线

v0=25'

text（pi/4,62.5,'

射程为62.5'

程序运行结果如图1所示。

2、斜抛运动解决实际问题

求解最大飞行路径所对应的抛射角问题（空气阻力忽略不计），如图2所示，X,Y坐标轴分别代表抛射体的射程与射高，在处，设在某一微小时段抛射体的路径变量

图1射程与抛射角、初速度的关系

为，其对应的水平及竖直方向的变量为与，

则（22）

设射程为R，则飞行路径长度（23）

根据前面的推论，（24）

其中为抛射的初始速度，为抛射角，

根据运动学原理，有（25）

（26）

从（24）、（25）中消除，我们可得到该运动的抛物线方程：

（27）

从（24）中可知，为求解L,先得求出，因此在（4）式两边同时对求导，得：

（28）

将（27）代入式（24），等式两边同时积分，便得到了飞行路径长度与抛射角之间的关系：

（29）

根据式（28），为求得L的最大值，将（28）两边同时对求导（30）

令，可得到最大飞行路径所对应的抛射角的大小，但解此方程是比较困难的。

为此，我们采用MATLAB的函数运算功能来解决这一问题。

程序如下，设其中的抛射初速度，。

x=（0:

pi/100:

pi/2）;

%产生行向量x

y1=（sin（x）+（cos（x）.*cos（x））.*log（1+sin（x））./cos（x））*100/9.8;

%飞行路径长度与抛射角之间的函数关系

y2=cos（x）.*（1-sin（x）.*log（（1+sin（x））./cos（x）））*200/9.8;

%飞行路径对抛射角的一阶导数的函数关系

m=（sin（pi/6）+（cos（pi/6）*cos（pi/6））*log（1+sin（pi/6））/cos（pi/6））*100/9.8;

%抛射角取某一特定值时飞行路径值

n=cos（pi/3）*（1-sin（pi/3）*log（（1+sin（pi/3））/cos（pi/3）））*200/9.8;

%抛射角取某一特定值时飞行路径一阶导的值

plot（x,y1,'

b:

'

%输出飞行路径长度与抛射角之间的函数表达式

holdon;

%设置图形保持状态

plot（x,y2,'

k'

%输出飞行路径对抛射角的一阶导数的函数表达系

holdoff;

%关闭图形保持

text（pi/6,m,'

y1'

%在指定位置添加图例说明

text（pi/3,n,'

y2'

%在指定位置添加图列说明

grid;

%网格线控制

运行结果如图2所示。

图2给出了飞行路径随抛射角的变化曲线及飞行路径曲线的斜度，从图中可以得到，当（弧度）时，即度时，飞行路径最大，

此时（31）

我们知道，在不考虑空气阻力的情况下，当抛射角度时，其射程最远，但此时其飞行路径并不是最远，而是当抛射角度时，其飞行路径最远，且其长度约为，实际上，由于空气阻力的存在，抛射体在空中是沿导弹曲线（弹头飞行时其重心所经过的路线）飞行的，它与抛物线不同，它的升弧与降弧不对称，在重力与空气阻力的共同影响下，弹道形成不均等的圆弧，升弧较长而直伸，降弧较短而弯曲.斜抛射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计算得到的值那么大，路线也不是理想曲线。

图2抛射角与飞行路径及其一阶导数曲线图

物体在空气中受到的阻力，与物体运动速度大小有密切联系，速度越小，越接近理想情况，当物体速度低于200米每秒时，阻力与物体速度大小的平方成正比，速度介于400至600米每秒之间时，空气阻力与速度大小的三次方成正比，在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。

3、抛射角为90度的特殊抛体运动

一弹性小球，初始高度h=10m,向上初速度v0=15米每秒，与地面碰撞的速度衰减系数k=0.8，试计算任意时刻球的位置和速度。

高度与时间的关系：

，（32）

速度与时间关系：

（33）

对等式两边积分，有，（34）

，（35）

由此可得数学方程：

第一次落地前：

（36）

（37）

（38）

第二次落地前：

（39）

（40）

（41）

（42）

第三次落地前：

（43）

（44）

（45）

（46）

......

第n次落地前：

（47）

（48）

（49）

（50）

如用手工进行计算，计算量极大，利用MATLAB编程如下：

v0=15;

%初速度

h=10;

%初始高度

g=-9.8;

k=0.8;

%衰减系数

T=0;

%落地时间

fort=0:

0.05:

20%产生时间的行向量

v=v0+g*（t-T）;

%求速度

y=h+v0*（t-T）+g*（t-T）^2/2;

%求高度

ify<

=0%循环判断条件

v0=-k*v;

%衰减的速度

T=t;

%求球每次落地所用时间

h=0;

%将高度变零

end%选择结构结束

subplot（1,2,1）;

%选择1*2中的一号区

pause（0.1）;

%延缓

plot（1,y,'

or'

'

MarkerSize'

10,'

Markerface'

[1,0,0]）;

%输出求球的运动图像

title（'

运动变化图'

%图形名称

axis（[0,2,0,25]）;

%坐标控制

subplot（2,2,2）;

%选择2*2中的二号区

axis（[0,20,-25,30]）;

gridon;

%不画网格线

plot（t,v,'

*r'

2）;

%画球的速度曲线

xlabel（'

时间t'

%坐标轴说明

ylabel（'

速度v'

速度变化趋势图'

holdon;

subplot（2,2,4）;

%选择2*2中的四号区

axis（[0,20,0,25]）;

%不加网格线

plot（t,y,'

*b'

%画球的位置曲线

高度y'

位置变化图'

gridon%不加网格线

holdon%设置图形保持状态