中考九年级数学第一轮专题复习三角形 压轴题专题突破练习题Word下载.docx

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【类比探究】

如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？

并说明理由．

4、已知：

如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，．

（1）求证：

△CAD∽△CBG；

（2）联结DG，求证：

．

5、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°

，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，连接OD．

△COD是等边三角形；

（2）当α＝150°

时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

6、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，∠ABC＝30°

，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．

7、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、CD，BD交直线AC于点E.

（1）当∠CAD=90°

时，求线段AE的长.

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，

①当∠CAD<

120°

时，设，（其中表示△BCE的面积，表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当时，请直接写出线段AE的长.

8、已知△ABC中，∠B＝60°

，点D是AB边上的动点，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．

（1）如图1，当点F恰好落在BC边上，求证：

△BDF是等边三角形；

（2）如图2，当点F恰好落在△ABC内，且DF的延长线恰好经过点C，CF＝EF，求∠A的大小；

（3）如图3，当点F恰好落在△ABC外，DF交BC于点G，连接BF，若BF⊥AB，AB＝9，求BG

的长．

9、如图1，在中，，AC=BC，，，垂足分别为D，E．

（1）若AD=2．5cm，DE=1．7cm，求BE的长．

（2）如图2，在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到ABC的外部，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论：

________．（不需证明）

（3）如图3，若将原题中的条件改为：

“在ABC中，AC=BC，D,C,E三点在同一条直线上，并且有，其中为任意钝角”，那么

（2）中你的猜想是否还成立？

若成立，请予以证明；

若不成立，请说明理由．

10、如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？

（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？

（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？

11、问题情境：

在数学课上，老师出示了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB＝AC，AF是BC边上的高，点D在线段BC上（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．若∠BAC＝90°

，猜想线段AF、CD、CE之间的数量关系．

探究展示

（1）善思组发现，AF＝CE+CD）并展示了部分证明过程：

证明：

∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，

∴∠CAE＝∠BAD．

…

在△CAE和△BAD中，

任务：

请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）钻研组受善思组的启发，求出了∠BCE的度数，请直接写出∠BCE＝　　度

类比思考

如图2，创新小组在此基础上进行了深入思考，把∠BAC＝90°

改为∠BAC＝60°

，其它条件不变，又求出了∠BCE＝　　度．

拓展延伸

设∠BAC＝α，∠BCE＝β，其它条件不变，则α，β之间有怎样的数量关系？

直接写出你的结论．

12、在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．

（1）如图1，若BQ=6，PQ//AC求t的值；

（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形．

（3）如图3，将边长为9的等边三角形ABC变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且AB=AC=10，BC=8，点P运动到AB中点处静止，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当全等时，求a的值．

13、如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．

（1）如图1，求证：

∠BPC＝120°

；

（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．

①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是　　．

②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

14、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°

，得到线段CE，连接EB．

（1）操作发现

如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　　；

线段BD、AB、EB的数量关系为　　；

（2）猜想论证

当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．

参考答案

【解答】解：

（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°

∠BAE＝∠DAC＝90°

+∠CAE，

在△BAE和△DAC中

，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

（2）由

（1）得△BAE≌△CAD．

∴∠DCA＝∠B＝45°

∵∠BCA＝45°

∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝90°

∴DC⊥BE．

（1）∵AD＝AC，

∴∠ACD＝∠ADC，

∵∠CAD＝α，

∴∠ACD＝（180°

﹣∠CAD）＝90；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：

∴∠DAG+∠ADG＝90°

∵AD＝AC，

∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，

∵CF⊥AD于点E，

∴∠DCE+∠ADG＝90°

∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，

即∠BCF＝α；

（3）△ACF是等腰三角形．

理由：

∵∠B＝45°

，AG⊥BC，

∴∠BAG＝45°

∵∠BAC＝45°

+∠CAG，∠AFC＝45°

+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，

∴∠BAC＝∠AFC，

∴AC＝FC，

∴△ACF是等腰三角形．

【解答】【问题解决】证明：

在CD上截取CH＝CE，如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ECH＝60°

∴△CEH是等边三角形，

∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°

∵△DEF是等边三角形，

∴DE＝FE，∠DEF＝60°

∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°

∴∠DEH＝∠FEC，

在△DEH和△FEC中，

∴△DEH≌△FEC（SAS），

∴DH＝CF，

∴CD＝CH+DH＝CE+CF，

∴CE+CF＝CD；

【类比探究】解：

线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；

理由如下：

∴∠A＝∠B＝60°

过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：

∵GD∥AB，

∴∠GDC＝∠B＝60°

，∠DGC＝∠A＝60°

∴∠GDC＝∠DGC＝60°

∴△GCD为等边三角形，

∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°

∵△EDF为等边三角形，

∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°

∴∠EDG＝∠FDC，

在△EGD和△FCD中，

∴△EGD≌△FCD（SAS），

∴EG＝FC，

∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

（1）∵，∴．

又∵∠AFG=∠EFA，∴△FAG∽△FEA．

∴∠FAG=∠E．

∵AE∥BC，∴∠E=∠EBC．

∴∠EBC=∠FAG．

又∵∠ACD=∠BCG，∴△CAD∽△CBG．

（2）∵△CAD∽△CBG，∴．

又∵∠DCG=∠ACB，∴△CDG∽△CAB．

∴．

∵AE∥BC，∴．

∴，∴，

【解答】

（1）证明：

∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，

∴CO＝CD，∠OCD＝60°

∴△COD是等边三角形．

（2）解：

当α＝150°

时，△AOD是直角