习题集02数字信号处理习题答案Word文件下载.docx
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对X(Z)的分子和分母进行因式分解得
X(Z)的零点为:
1/2,极点为:
j/2,-j/2,-3/4
∴X(Z)的收敛域为:
(1)1/2<
|Z|<
3/4,为双边序列,见图一
(2)|Z|<
1/2,为左边序列,见图二
(3)|Z|>
3/4,为右边序列,见图三
图一图二图三
Z反变换
2.有一右边序列,其变换为
(a)将上式作部分分式展开(用表示),由展开式求。
(b)将上式表示成的多项式之比,再作部分分式展开,由展开式求,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。
【注意】不管哪种表示法最后求出x(n)应该是相同的。
(a)
因为
且x(n)是右边序列
所以
(b)
Z变换的基本性质和定理
3.对因果序列,初值定理是,如果序列为时,问相应的定理是什么?
,其z变换为:
这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值,把序列分成因果序列和反因果序列两部分,〖它们各自由求表达式是不同的〗,将它们各自的相加即得所求。
若序列的Z变换为:
由题意可知:
X(Z)的收敛域包括单位圆
则其收敛域应该为:
4.有一信号,它与另两个信号和的关系是:
其中,
已知,,
根据题目所给条件可得:
而
Z变换与傅里叶变换的关系
5.求以下序列的频谱。
(1)
(2)
(3)(4)
可以先求序列的Z变换再求频率
即为单位圆上的Z变换,或者直接求序列的
傅里叶变换
对题中所给的先进行z变换
再求频谱得:
∴
6.若是因果稳定序列,求证:
利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解
再利用的傅里叶反变换,代入n=0即可得所需结果。
证明:
序列的傅里叶变换
7.求的傅里叶变换。
这道题利用傅里叶变换的定义即可求解,但最后结果应化为模和相角的关系。
根据傅里叶变换的概念可得:
傅里叶变换的一些对称性质
8.设是如下图所示的信号的傅里叶变换,
不必求出,试完成下列计算:
(a)(b)
(c)(d)
利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式
由帕塞瓦尔公式可得:
∵
即
9.已知有傅里叶变换,用表示下列信号的傅里叶变换。
(a)(b)
(c)
利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。
(c)
则
离散系统的系统函数,系统的频率响应
10.已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统
(a)求这个系统的系统函数,画出其零极点图并指出其收敛区域;
(b)求此系统的单位抽样响应;
(c)此系统是一个不稳定系统,请找一个满足上述差分方程的稳定的(非因果)系统的单位抽样响应。
则,
要求收敛域必须知道零点、极点。
收敛域为Z平面某个圆以外,则为因果系统(不一定稳定),收敛域若包括单位圆,则为稳定系统(不一定因果)。
(a)对题中给出的差分方程的两边作Z变换,得:
所以
零点为z=0,
极点为,
因为是因果系统,所以|z|>
1.62是其收敛区域。
零极点图如下图所示。
由于的收敛区域不包括单位圆,故这是个不稳定系统。
(c)若要使系统稳定,则收敛区域应包括单位圆,因此选的收敛区域为,
即,则
中第一项对应一个非因果序列,而第二项对应一个因果序列。
从结果可以看出此系统是稳定的,但不是因果的。
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