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=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦点弦长
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为,则
切线
1.直线与抛物线的位置关系
直线,抛物线,
,消y得:
(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行,有一个交点;
(2)当k≠0时,
Δ>0,直线与抛物线相交,两个不同交点;
Δ=0,直线与抛物线相切,一个切点;
Δ<0,直线与抛物线相离,无公共点。
(3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?
(不一定)
2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线:
抛物线,
1 联立方程法:
设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出,
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如
a.相交弦AB的弦长
或
b.中点,,
2 点差法:
设交点坐标为,,代入抛物线方程,得
将两式相减,可得
所以
a.在涉及斜率问题时,
b.在涉及中点轨迹问题时,设线段的中点为,,即,
同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点是弦的中点,则有
(注意能用这个公式的条件:
1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)
一、抛物线的定义及其应用
例1、设P是抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
例2、设M(x0,y0)为抛物线C:
x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )
A.(0,2) B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,准线为l,经过F的直线与抛物线交于A、B两点,交准线于C点,点A在x轴上方,AK⊥l,垂足为K,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则△AKF的面积是( )
A.4B.3C.4D.8
例4、过抛物线y2=2px(p>
0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3则此抛物线的方程为( )
A.y2=x B.y2=9xC.y2=xD.y2=3x
三、抛物线的综合问题
例5、已知过抛物线y2=2px(p>
0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<
x2)两点,且|AB|=9.
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·
的最小值
例7、已知点M(1,y)在抛物线C:
y2=2px(p>
0)上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l:
y=-x+b与抛物线C交于A,B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程.
练习题
1.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a等于()
A.1 B.4C.8D.16
2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()
A.-B.-C.D.
3.(2011·
辽宁高考)已知F是拋物线y2=x的焦点,A,B是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.B.1C.D.
4.已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()
A.相离B.相交C.相切D.不确定
5.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,则||FA|-|FB||的值等于( )A.4B.8C.8D.16
6.在y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是( )
A.(-2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(-1,2)
7.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( )
A.4B.8C.8D.16
8.抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,抛物线的方程()
A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x
9以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为______.
10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,抛物线上一点Q(-3,m)到焦点的距离是5,则抛物线的方程为________.
11.已知抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0相交于A、B两点,抛物线的焦点为F,那么||+||=________.
12.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于________
13.根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(2)过点P(2,-4).
14.已知点A(-1,0),B(1,-1),抛物线C:
y2=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点,直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为,求△POM的面积.
解析
例1、
(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.
由抛物线的定义知:
点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.
于是,问题转化为:
在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连结AF交曲线于P点,则所求的最小值为|AF|,即为.
(2)如图,自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.
例2、解析:
圆心到抛物线准线的距离为p,即p=4,根据已知只要|FM|>
4即可.根据抛物线定|FM|=y0+2由y0+2>
4,解得y0>
2,故y0的取值范围是(2,+∞).
例3、设点A(x1,y1),其中y1>
0.由点B作抛物线的准线的垂线,垂足为B1.则有|BF|=|BB1|;
又|CB|=2|FB|,因此有|CB|=2|BB1|,cos∠CBB1==,∠CBB1=.即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|=|AK|=x1+=4,因此y1=4sin=2,因此△AKF的面积等于|AK|·
y1=×
4×
2=4.
例4.分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l,且垂足分别为A1、B1,由已知条件|BC|=2|BF|得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°
,又|AA1|=|AF|=3,
∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F为线段AC的中点.故点F到准线的距离为p=|AA1|=,故抛物线的方程为y2=3x.
例5、
(1)直线AB的方程是y=2(x-),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以:
x1+x2=,由抛物线定义得:
|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4);
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).
又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1).
即(2λ-1)2=4λ+1.解得λ=0,或λ=2.
例6、
(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有-|x|=1.化简得y2=2x+2|x|.当x≥0时,y2=4x;
当x<
0时,y=0.
所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<
0).
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方程为y=k(x-1).由,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.(7分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.(8分)
因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.设D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得
x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)·
(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1(11分)
=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+)≥8+4×
2=16.
当且仅当k2=,即k=±
1时,·
取最小值16.
例7、
(1)抛物线y2=2px(p>
0)的准线为x=-,由抛物线定义和已知条件可知
|MF|=1-(-)=1+=2,解得p=2,故所求抛物线C的方程为y2=4x.
(2)联立消去x并化简整理得y2+8y-8b=0.
依题意应有Δ=64+32b>
0,解得b>
-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8,y1y2=-8b,设圆心Q(x0,y0),则应用x0=,y0==-4.
因为以AB为直径的圆与x轴相切,所以圆的半径为r=|y0|=4.
又|AB|===
=
所以|AB|=2r==8,解得b=-.
所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=,
则圆心Q的坐标为(,-4).故所求圆的方程为(x-)2+(y+4)2=16.
练习题:
1.解析:
根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0,),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则有=2解得a=8.
2.解析:
抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1⇒y0=-.
3.解析:
根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:
(|AF|+|BF|)-=-=.
4.解析:
设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线l,A1、B1分别为A、B在直线l上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|=半径,故相切.
5.解析:
依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2由,消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8.
6.解析:
如图所示,直线l为抛物线y=2x2的准线,F为其焦点,PN⊥l,
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