届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理试题解析版Word格式.docx
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复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
3.函数的大致图象为
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】利用函数的奇偶性排除,利用函数的单调性排除,从而可得结果.
,
为奇函数,其图象关于原点对称,故排除,
在上是增函数且,
所以在是增函数,排除,故选A.
函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;
从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
4.的展开式中,的系数是
A.40B.60C.80D.100
【解析】先写出二项展开式的通项,然后令的指数为4,解出相应参数的值,代入通项即可得出结果.
二项展开式的通项为.
令,得.
因此,二项展开式中的系数为,故选C.
本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:
(1)考查二项展开式的通项公式;
(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)
(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;
(3)二项展开式定理的应用.
5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()
A.10B.9C.8D.5
【答案】D
【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,
即cos2A=,
又因△ABC为锐角三角形,
所以cosA=.
△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×
6×
即b2-b-13=0,
即b=5或b=-(舍去),故选D.
6.在平行四边形中,已知,,,,则的值是
A.4B.6C.8D.10
【解析】由已知,利用向量加法的三角形法则可得,展开后结合,,可求的值.
平行四边形中,已知,,,,
所以,,
又,
即,
故选C.
本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的性质的简单应用,属于基础试题.向量的几何运算有两种方法:
(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);
(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和).
7.如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则区域涂色不相同的概率为
【解析】利用分步计数原理求出不同的涂色方案有420种,其中,区域涂色不相同的情况有120种,由此根据古典概型概率公式能求出区域涂色不相同的概率.
提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,
根据题意,如图,设5个区域依次为,分4步进行分析:
,对于区域,有5种颜色可选;
,对于区域与区域相邻,有4种颜色可选;
,对于区域,与区域相邻,有3种颜色可选;
,对于区域,若与颜色相同,区域有3种颜色可选,
若与颜色不相同,区域有2种颜色可选,区域有2种颜色可选,
则区域有种选择,
则不同的涂色方案有种,
其中,区域涂色不相同的情况有:
,对于区域与区域相邻,有2种颜色可选;
,对于区域,若与颜色相同,区域有2种颜色可选,
若与颜色不相同,区域有1种颜色可选,区域有1种颜色可选,
不同的涂色方案有种,
区域涂色不相同的概率为,故选B.
本题考查古典概型概率公式的应用,考查分步计数原理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.在求解有关古典概型概率的问题时,首先求出样本空间中基本事件的总数,其次求出概率事件中含有多少个基本事件,然后根据公式求得概率.
8.已知函数,若直线过点,且与曲线相切,则直线的斜率为
A.B.2C.D.
【解析】求得的导数,设出切点,可得切线的斜率,结合两点的斜率公式,解方程可得m,从而可得结果.
函数的导数为,
设切点为,则,
可得切线的斜率为,
所以,
解得,,故选B.
本题主要考查利用导数求切线斜率,属于中档题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数;
(2)己知斜率求切点即解方程;
(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.
9.已知奇函数满足,当时,,则
【解析】根据函数的周期性结合奇偶性推导出,利用时,能求出结果.
奇函数满足,
因为,
所以
又因为当时,,
故选A.
本题考查对数的运算法则,考查函数的奇偶性、周期性等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.解答函数周期性、奇偶性、解析式相结合的问题,通常先利用周期性与奇偶性转化自变量所在的区间,然后根据解析式求解.
10.已知点是双曲线右支上一点,、分别是双曲线的左、右焦点,为的内心,若成立,则双曲线的渐近线方程为
【解析】设圆与的三边、、分别相切于点,连接,,,可看作三个高均为圆半径的三角形利用三角形面积公式,代入已知式,化简可得,再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求.
如图,设圆与的三边、、分别相切于点,
连接,
则,,,它们分别是
,,的高,
其中是的内切圆的半径.
两边约去得:
根据双曲线定义,得,,
,,,
可得双曲线的渐近线方程为,
即为,故选A.
本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线,着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质,属于中档题.解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.
11.如图是函数在区间上的图象,将该图象向右平移个单位后,所得图象关于直线对称,则的最大值为
【解析】由图象求出周期,可得的值,由五点法作图求出的值,可得函数的的解析式,再根据函数的图象的变换规律得到的解析式,结合三角函数的对称性可得结论.
由函数,的图象可得,
可得.
再由五点法作图可得,
故函数的的解析式为
故把的图象向右平移个单位长度,
可得的图象,
由于所得图象关于直线对称,
可得,
可得,解得,,
由于,可得,,
可得当时,的最大值为,故选B.
本题主要考查由函数的部分图象求解析式,函数的图象的变换规律,属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期,用周期公式求出,利用特殊点求出,正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点,用五点法求值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,“第一点”(即图象上升时与轴的交点)满足.
12.在平面直角坐标系中,设点,定义,其中为坐标原点,对于下列结论:
符合的点的轨迹围成的图形面积为8;
设点是直线:
上任意一点,则;
上任意一点,则使得“最小的点有无数个”的充要条件是;
设点是椭圆上任意一点,则.
其中正确的结论序号为
【解析】根据新定义由,讨论、的取值,画出分段函数的图象,求出面积即可;
运用绝对值的含义和一次函数的单调性,可得的最小值;
根据等于1或都能推出最小的点有无数个可判断其错误;
把的坐标用参数表示,然后利用辅助角公式求得的最大值说明命题正确.
由,根据新定义得:
,由方程表示的图形关于轴对称和原点对称,且,画出图象如图所示:
四边形为边长是的正方形,面积等于8,故正确;
为直线上任一点,可得,
可得,
当时,;
当时,可得,综上可得的最小值为1,故正确;
,当时,,满足题意;
而,当时,,满足题意,即都能“使最小的点有无数个”,不正确;
点是椭圆上任意一点,因为求最大值,所以可设,,,,,,正确.
则正确的结论有:
、、,故选D.
此题考查学生理解及运用新定义的能力,考查了数形结合的数学思想,是中档题.新定义题型的特点是:
通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.
二、填空题
13.若直线经过抛物线的焦点,则______.
【答案】2
【解析】由直线方程求出直线过点,从而得到抛物线的焦点坐标,则可求.
直线可化为
所以直线过点,
即抛物线的焦点为,
,则,故答案为2.
本题考查了抛物线的简单性质以及直线过定点问题,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.
14.若满足约束条件,则的最小值为______.
【答案】5
【解析】作出不等式组对应的平面区域,表示区域内的点到定点的距离的平方,数形结合即可得到结论.
作出约束条件对应的平面区域,如图
表示区域内的点到定点的距离的平方,
由,可得
则由图象可知,距离最小,
此时的最小值为
,故答案为5.
本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”:
(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);
(2)找到目标函数对应的最优解对应点;
(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15.已知等差数列,若点在经过点的定直线上,则数列的前7项和______.
【答案】56
【解析】由点在经过点的定直线上,推导出,根据等差数列的性质与求和公式可得结果.
因为等差数列中,点在经过点的定直线上,
数列的前7项和,
故答案为56.
本题主要考查等差数列的求和公式,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.解答等差数列问题时,要注意应用等差数列的性质()与前项和的关系.
16.已知函数,若关于的方程有个不同的实数解
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