基于古塔变形问题的数学模型大学生数学建模竞赛Word下载.docx
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张涛
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日期:
2013年9月16日
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基于古塔变形问题的数学模型
摘要
本文主要通过建立数学模型来探讨古塔的变形情况以及未来的变形趋势。
首先通过建立解析几何模型确定古塔各层的中心坐标,然后利用Matlab软件进行多项式拟合得到各层中心坐标的曲线方程,最后借助此曲线方程计算得倾斜、弯曲、扭曲等各个变形量,并绘制出各层的位移沉降折线图,通过这些图形的变化趋势并结合各个变形量之间的关系,我们预测出古塔未来的变形趋势。
针对问题一:
我们根据题中给出的数据和条件,结合对古塔实际观测点,通过Matlab绘图软件确定古塔形状为八角形,从而建立起解析几何模型,并用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值,进而确定各次测量的古塔各层中心坐标。
针对问题二:
首先由问题一中所计算出的各层中心坐标,对于各个测量年份而言,将三维曲线转换为二维曲线,利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式(曲线)拟合,根据拟合出的曲线,取得该曲线的xyz三个旋转角度,即倾斜(z轴与xy平面的夹角),弯曲(曲线的曲率),扭曲(绕z轴的旋转角度)等,记为、K、。
针对问题三:
利用题中所给数据,绘制各测量年份的各层位移沉降折线图,观察其倾斜趋势,并进行预测;
结合问题二中曲线曲率和扭曲角度,联系测量年份,分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式,进而更好地预测出弯曲、扭曲的变形趋势。
最后,综合分析各个变形量的趋势,并对模型进行评价推广。
关键词:
中心坐标matlab软件多项式拟合
一.问题重述
古塔是一种在亚洲常见的,有着特定的形式和风格的东方传统建筑,是中国五千年文明史的载体之一,为祖国城市山林增光添彩,矗立在大江南北的古塔,被誉为中国古代杰出的高层建筑。
[1]
古塔由于长时间经过各种自然环境的影响,必然会产生变形。
文物部门为了更好地保护古塔,必须对其进行适时的观测,确定各种变形量,根据变形量,预测古塔的变形趋势,最后制定必要的保护措施。
因此,根据上述信息,我们讨论以下问题:
1、建立数学模型,研究古塔各层中心位置的通用方法,并列表确定各次测量的古塔各层中心坐标。
2、分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3、综合各种变形情况,分析古塔未来的变形趋势。
二.问题分析
本文研究的是古塔的变形问题。
题中古塔的变形主要包括倾斜、弯曲、扭曲。
首先,根据题中给出的数据和条件,确定各次测量的古塔各层中心坐标;
然后对各个测量年份依次分析,将三维曲线转换为二维曲线,利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式(曲线)拟合,根据拟合出的曲线,计算倾斜、弯曲、扭曲三个变形量的大小关系;
最后绘制各测量年份的各层位移沉降折线图,并分别利用多项式拟合得到各自与测量年份的关系式,从而更好地预测古塔未来的变形趋势。
三.模型建设
1.假设每层各个点都在同一平面内;
2.假设古塔在各种自然环境作用下,不发生破坏;
3.假设倾斜只受地基的沉降影响,忽略其他因素。
四.符号说明
(x,y,z)
中心坐标
每层第i个点x轴的坐标
每层第j个点y轴的坐标
每层第k个点z轴的坐标
A
侧面的横坐标
K
曲率
T
年份
倾斜角度
扭曲角度
五.模型建立与求解
5.1关于问题一的模型建立与求解:
根据题中给出的数据和条件,我们利用Matlab绘图软件可以得出题中的古塔为八角形古塔:
假设每层各个点都在同一个平面内,根据简单的解析几何的方法确定各次测量的古塔各层中心坐标。
可得中心坐标(x,y,z)的通用公式:
x=
y=
z=
根据上式,用Excel电子表格计算每层八点坐标的平均值,确定各次测量的古塔各层中心坐标。
如表1如下:
表1各次测量的古塔各层中心坐标
年
份
坐
标
层
数
1986年
1996年
2009年
2011年
1
(566.6648,522.7105,1.787375)
(566.665,522.7102,1.783)
(566.7268,522.7015,1.7645)
(566.727,522.7014,1.76325)
2
(566.7196,522.6684,7.32025)
(566.7205,522.6674,7.314625)
(566.764,522.6693,
7.309)
(566.7642,522.669,7.2905)
3
(566.7735,
522.6273,
12.75525)
(566.7751,522.6256,12.75075)
(566.8001,522.6384,12.73225)
(566.8004,522.6387,12.72688)
4
(566.8161,522.5944,17.07825)
(566.8183,522.5922,17.07513)
(566.8293,522.6132,17.06975)
(566.8297,522.6127,17.052)
5
(566.8621,522.5591,21.7205)
(566.8649,522.5563,21.716)
(566.8604,522.5866,21.70938)
(566.861,522.586,21.70388)
6
(566.9084,522.5244,26.23513)
(566.9118,522.521,26.2295)
(566.9471,522.5342,26.211)
(566.9478,522.5335,26.2045)
7
(566.9468,522.5081,29.83688)
(566.9506,522.5042,29.83225)
(566.9792,522.5123,29.82463)
(566.98,522.5115,29.817)
8
(566.9843,522.4924,33.35088)
(566.9884,522.4881,33.34538)
(567.0305,522.4797,33.33988)
(567.0313,522.4788,33.33663)
9
(567.0218,522.4764,36.85488)
(567.0265,522.4714,36.84825)
(567.0816,522.4466,36.84375)
(567.0825,522.4457,36.82225)
10
(567.0569,522.4624,40.17213)
(567.062,522.4572,40.16763)
(567.137,522.3937,40.16113)
(567.1381,522.3926,40.14413)
11
(567.1045,522.423,44.44088)
(567.1102,522.4173,44.43538)
(567.1799,522.3547,44.43263)
(567.181,522.3535,44.42488)
12
(567.1518,522.3836,48.71188)
(567.1578,522.3775,48.70738)
(567.2225,522.316,48.69975)
(567.2238,522.3147,48.68388)
13
(567.085,522.7403,52.83429)
(567.0912,
522.734,
52.83)
(567.2712,522.2715,52.81838)
(567.2725,522.2701,52.81313)
塔尖
(567.2473,522.2438,55.12325)
(567.2544,522.2367,55.11975)
(567.336,522.2148,55.091)
(567.3375,522.2135,55.087)
5.2关于问题二的模型建立与求解:
根据问题一,我们得出各次测量的古塔各层中心坐标,如图1所示:
图1
由图1,可以看出图中后两点偏差较大,所以拟合时将其忽略。
由于中心坐标为三维坐标,所以不能将各层中心坐标进行三维多项式拟合。
[2]
首先,我们要将三维转换成二维进行计算,令A=,进而让三维坐标转换成二维坐标;
分别作面的投影,然后将各层二维坐标进行多项式拟合。
拟合程序见附录,拟合图像如图2所示:
图2
通过拟合得到:
z=21794.387A-50411386.903A+38867927591.030A-9989249763219.082
倾斜(z轴与xy平面的夹角):
对z求一阶导
z=65383.161A-100822773.806A+38867927591.030=tan()
=arctan(65383.161A-100822773.806A+38867927591.030)
弯曲(曲线的曲率):
对z求二阶导
z=130766.322A-100822773.806
[3]
=
扭曲(绕z轴的旋转角度):
我们先做出古塔俯视图(即xoy面的曲线),如图3所示:
图
根
图3
据观察可得出,前10个点基本在同一条直线上,受扭曲的影响较小,所以我们用这10个点可以拟合出一条直线函数作为不受扭曲的参照直线,再连接第一
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