高三数学一轮复习精品教案3古典概型教学设计Word文件下载.docx
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①任何两个基本事件是互斥的.
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
(2)古典概型
①定义
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
b.每个基本事件出现的可能性相等.
②概率公式:
P(A)=.
『指点迷津』
1.一条规律
从集合的角度去看待概率,在一次试验中,等可能出现的全部结果组成一个集合I,基本事件的个数n就是集合I的元素个数,事件A是集合I的一个包含m个元素的子集.故
P(A)==.
2.两个特征
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.
3.两种方法
(1)列举法:
适合于较简单的试验.
(2)树状图法:
适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.
考向一 简单古典概型的概率
(2014·
辽宁省大连市调研)某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2』,(4.2,4.5』,…,(5.1,5.4』.经过数据处理,得到如下频率分布表:
分组
频数
频率
(3.9,4.2』
3
0.06
(4.2,4.5』
6
0.12
(4.5,4.8』
25
x
(4.8,5.1』
y
z
(5.1,5.4』
2
0.04
合计
n
1.00
(1)求频率分布表中未知量n,x,y,z的值;
(2)从样本中视力在(3.9,4.2』和(5.1,5.4』的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.
『审题视点』 依频数、频率之间的关系求n,x,y,z,列举所有随机事件的结果,由古典概型求概率.
『典例精讲』
(1)由频率分布表可知,样本容量为n,由=0.04,得n=50.
∴x==0.5,y=50-3-6-25-2=14,z===0.28.
(2)记样本中视力在(3.9,4.2』的三人为a,b,c,在(5.1,5.4』的两人为d,e.
由题意,从五人中随机抽取两人,所有可能的结果有:
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种.
记事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A包含的可能的结果有:
(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),共4种.
所以P(A)==.
故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为.
『类题通法』 根据公式P(A)=进行概率计算时,关键是求出n,m的值,在求n值时应注意这n种结果必须是等可能的,对一些比较简单的概率问题,求m,n的值只需列举即可.
1.(2014·
武汉市适应性训练)编号为A1,A2,…,A10的10名学生参加投篮比赛,每人投20个球,各人投中球的个数记录如下:
学生编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
投中个数
4
13
11
17
10
9
15
12
(1)将投中个数在对应区间内的人数填入表的空格内;
区间
『0,5)
『5,10)
『10,15)
『15,20)
人数
(2)从投中个数在区间『10,15)内的学生中随机抽取2人,
①用学生的编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人投中个数之和大于23的概率.
『解析』
(1)依题意得,投中个数在对应区间内的人数如下表:
1
5
(2)①投中个数在区间『10,15)内的学生编号为A2,A3,A5,A9,A10,从中随机抽取2名学生,所有可能的抽取结果为(A2,A3),(A2,A5),(A2,A9),(A2,A10),(A3,A5),(A3,A9),(A3,A10),(A5,A9),(A5,A10),(A9,A10),共10种.
②将“从投中个数在区间『10,15)内的学生中随机抽取2人,这2人投中个数之和大于23”记为事件B,事件B的所有可能的结果为(A2,A3),(A2,A9),(A2,A10),共3种.所以P(B)=.
考向二 有放回抽样与无放回抽样
大连模拟)盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是次品.
(1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数;
②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数;
(2)从中一次任取出2只,求2只都是正品的概率.
『审题视点』 从中取一只再放回,属于有放回抽样,每次取灯泡的总数不变,还是3只,可列举事件个数,属于古典概型.
『典例精讲』
(1)将灯泡中2只正品记为a1,a2,1只次品记为b1,
则第一次取1只,第二次取1只,基本事件总数为9个,
a1a1a2b1 a2a1a2b1 b1a1a2b1
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1)(a1,a2)(a2,a1)(a2,a2)共4个基本事件;
②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件为(a1,b1)(a2,b1)(b1,a1)(b1,a2)共4个基本事件.
(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3,即a1a2,a1b1,a2b1,“2只都是正品”的基本事件数是1,所以其概率为P=.
『类题通法』 有“放回抽样”,被抽取的元素总数不变,同一个元素可以被重复抽取.“无放回抽样”,被抽取的元素总数随抽取的次数逐渐减少,同一个元素不会被重复抽取.
2.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.
『解析』
(1)甲校两男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;
乙校男教师用D表示,两女教师分别用E、F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:
(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种,
从中选出的2名教师性别相同的结果有:
(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4种.
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C)(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果为:
(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F),共6种,
所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P==.
考向三 古典概型与互斥(对立)事件概率的综合应用
山东莱芜模拟)中国共产党第十八次全国代表大会期间,某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访,现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者.要从这九名记者中一次随机选出两名,每名记者被选到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y,且x<
y”.
(1)共有多少个基本事件?
并列举出来;
(2)求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率.
『审题视点』 列举所有基本事件从中找出,满足11≤x+y<17且x<y或“x<y≤5”的个数,用古典概型求概率.
『典例精讲』
(1)共有36个基本事件,列举如下:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9),共36个.
(2)记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A,即事件A为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且11≤x+y<
17,其中x<
y”,由
(1)可知事件A共含有15个基本事件,列举如下:
(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个.“都是男记者”记作事件B,则事件B为“x<
y≤5”,包含:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.故P(A)+P(B)=+=.
『类题通法』
(1)本题属于求较复杂事件的概率问题,解题关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.
(2)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,要保证计数的一致性,就是在计算基本事件数时,都按排列数求,或都按组合数求.
3.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<
m+2的概率.
『解析』
(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.
因此所求事件的概率P==.
(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.
又满足条件n≥m+2的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=.
故满足条件n<
m+2的事件的概率为
1-P1=1-=.
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