初三数学难题精选答案及讲解Word下载.docx
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请说明理由。
(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间数量关系,不必说明理由。
证明:
DE=CE=CF,△BCE
由旋转60°
得△ACF,
∴∠ECF=60°
,BE=AF,CE=CF,
∴△CEF是等边三角形,
∴EF=CE,
∴DE=EF,∠CAF=∠BAC=60°
,
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°
∵∠DBE=120°
∴∠EAF=∠DBE,
又∵A,E,C,F四点共圆,
∴∠AEF=∠ACF,
又∵ED=DC,
∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF,
∴∠D=∠AEF,
∴△EDB≌FEA,
∴BD=AF,AB=AE+BF,
∴AB=BD+AF。
类比探究
(1)DE=CE=CF,△BCE由旋转60°
∴DE=EF,∠EFC=∠BAC=60°
∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,
∴∠FCG=∠FEA,
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD,
∴∠D=∠FEA,
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA,
∴BD=AE,?
EB=AF,
∴BD=FA+AB。
即AB=BD-AF。
(2)AF=BD+AB(或AB=AF-BD)
考点点评:
(1)此题主要考查了几何变换综合题:
旋转变化,等边三角形,三角形全,考查了分析推理能力,考查了空间想象能力,考查了数形结合方法的应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握.
3、在⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°
,点P在BC上,点Q在⊙O上,且OP⊥PQ。
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值。
(1)连结OQ,如图1,
∵PQ∥AB,OP⊥PQ,
∴OP⊥AB,
求OP的方法1:
OP2+32=(2×
OP)2
求得OP=
求OP的方法2:
在Rt△OBP中,∵tan∠B=,
∴OP=3tan30°
=,
在Rt△OPQ中,∵OP=,OQ=3,
∴PQ==;
(2)连结OQ,如图2,
在Rt△OPQ中,PQ==,
当OP的长最小时,PQ的长最大,
此时OP⊥BC,则OP=OB=,
∴PQ长的最大值为=。
【点评】本题考查了圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
也考查了勾股定理和解直角三角形。
4、如图,一条公路的转弯处是一段圆弧。
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心O;
(要求保留作图痕迹,不写作法)
(2)若的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求所在圆的半径。
(1)如图1,点O为所求;
(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,
∵C为的中点,
∴OC⊥AB,
∴AD=BD=AB=40,
设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=OD-CD=r-20,
在Rt△OAD中,∵OA2=OD2+BD2,
∴r2=(r-20)2+402,解得r=50,
即所在圆的半径是50m。
考点1:
圆
圆,圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。
题型以填空题,选择题和解答题为主,也有以阅读理解,条件开放,结论开放探索题作为新的题型,分值一般是6-12分,难易度为中,考察内容:
①圆的有关性质的应用。
垂径定理是重点。
②直线和圆,圆和圆的位置关系的判定及应用。
③弧长,扇形面积,圆柱,圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形,三角函数的综合运用以及有关的开放题,探索题。
突破方法:
①熟练掌握圆的有关行政,掌握求线段,角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。
②理解直线和原的三种位置关系,掌握切线的性质和判定的歌,会根据条件解决圆中的动态问题。
③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系,对中考试题中常出现的阅读理解题,探索题,要灵活运用圆的有关性质,进行合理推理与计算。
④掌握弧长,扇形面积计算公式。
⑤理解圆柱,圆锥的侧面展开图⑥对组合图形的计算要灵活运用计算方法解题。
5、如图所示,某地有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此时货船能顺利通过这座拱桥吗?
解题方法一:
设⊙O的半径为R,
AB=7.2,CD=2.4,?
在Rt△AOD中,OD=R-2.4,AD=3.6,
R2=(R-2.4)2+3.62
∴R=3.9
在Rt△OHN中,HN=1.5,?
OH===3.6
∴HD=3.6-1.5=2.1
∵2.1>
2
∴此货船能顺利通过。
解题方法二:
在Rt△ONH中,
ON2=NH2+OH2=(EF/2)2+(OC-DC+DH)2=1.52+3.52=14.5
R2=15.21
ON2<R2即ON<
R
即:
船的外角F在拱形内
此货船能顺利通过拱桥。
解题方法三:
判断船宽与拱高出水面2米处弦长,若船宽小于弦长,则能通过,否则不能通过,解法略。
本题考查的是垂径定理的应用;
勾股定理,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
6、已知:
如图,∠AOB=90°
,C、D是的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F.求证:
AE=BF=CD
证明方法一:
C、D是弧AB的三等分点,
则∠AOC=∠COD=∠DOB=30°
。
AC=CD=DB(在同圆中相等的弧所对的弦也相等);
AO=OB,∠AOB=90°
则∠OAB=∠OBA=45°
OA=OC,∠AOC=30°
则∠OAC=75°
∠OAB=45°
则∠BAC=30°
∠ACO=∠CAO=75°
则∠AEC=75°
则△ACE是等腰三角形。
AC=AE,AC=CD
则AE=CD。
同理可证BF=CD
所以AE=BF=CD。
证明方法二:
∵O为的中点,∴OA=OB,∴点O为所在圆的圆心,
连接AC、BD,则有AC=CD=BD,如上图:
∵∠AOC=∠COD,OA=OC=OD,
∴△ACO≌△DCO.∴∠ACO=∠OCD.
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°
+30°
=75°
∠OCD==75°
∴∠OEF=∠OCD,∴CD∥AB,
∴∠AEC=∠OCD,∴∠ACO=∠AEC.故AC=AE,
同理,BF=BD.
又∵AC=CD=BD,∴AE=CD=BF.
本题主要考查了全等三角形的判定和性质;
等腰三角形的性质;
圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识的综合应用能力。
7、如右图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(1)若∠E=∠F时,求证:
∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°
时,求∠A的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
(1)∠E=∠F,
∵∠DCE=∠BCF,
∴∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC;
(2)由
(1)知∠ADC=∠ABC,
∵∠EDC=∠ABC,
∴∠EDC=∠ADC,
∴∠ADC=90°
∴∠A=90°
﹣42°
=48°
;
(3)连结EF,如图,
∵四边形ABCD为圆的内接四边形,
∴∠ECD=∠A,
∵∠ECD=∠1+∠2,
∴∠A=∠1+∠2,
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°
∴2∠A+α+β=180°
﹣.
8、在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的反称点的定义如下:
若在射线CP上存在一点P′,满足CP+CP′=2r,则称点P′为点P关于⊙C的反称点,如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图.特别地,当点P′与圆心C重合时,规定CP′=0.
(1)当⊙O的半径为1时,
①分别判断点M(2,1),N(,0),T(1,)关于⊙O的反称点是否存在?
若存在,求其坐标;
②点P在直线y=-x+2上,若点P关于⊙O的反称点P′存在,且点P′不在x轴上,求点P的横坐标的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,若线段AB上存在点P,使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部,求圆心C的横坐标的取值范围.
(1)当⊙O的半径为1时.
①点M(2,1)关于⊙O的反称点不存在;
N(,0)关于⊙O的反称点存在
反称点N′(,0);
T(1,)关于⊙O的反称点存在
反称点T′(0,0);
②∵OP≤2r=2,OP2≤4,设P(x,-x+2),
∴OP2=x2+(-x+2)2=2x2-4x+4≤4,
∴2x2-4
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