计算方法复习题与答案_精品文档.doc
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复习题与答案
复习题一
复习题一答案
复习题二
复习题二答案
复习题三
复习题三答案
复习题四
复习题四答案
自测题
复习题
(一)
一、填空题:
1、求方程的根,要求结果至少具有6位有效数字。
已知,则两个根为,.(要有计算过程和结果)
2、,则A的LU分解为。
3、,则,.
4、已知,则用抛物线(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得.
5、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为,拉格朗日插值多项式为.
二、单项选择题:
1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是().
A.A的各阶顺序主子式不为零B.
C.D.
2、设,均差=().
A.3B.-3C.5D.0
3、设,则为().
A.2B.5C.7D.3
4、三点的高斯求积公式的代数精度为().
A.2B.5C.3D.4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布()。
A.有关B.不一定C.无关
三、计算题:
1、用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算).
2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。
3、已知
1
3
4
5
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数).
4、取步长,用预估-校正法解常微分方程初值问题
5、已知
-2
-1
0
1
2
4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线,并求的近似值。
6、证明方程=0在区间(0,1)内只有一个根,并用迭代法(要求收敛)求根的近似值,五位小数稳定。
复习题
(一)参考答案
一、一、1、,
2、
3、,8
4、2.3670.25
5、-1,
二、
三、1、迭代格式
k
0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
2、是精确成立,即
得
求积公式为
当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。
所以代数精度为3。
3、
差商表为
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
4、解:
即
n
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、解:
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为
复习题
(二)
一、填空题:
1、近似值关于真值有()位有效数字;
2、的相对误差为的相对误差的()倍;
3、设可微,求方程的牛顿迭代格式是();
4、对,差商(),();
5、计算方法主要研究()误差和()误差;
6、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
7、求解一阶常微分方程初值问题=f(x,y),y(x0)=y0的改进的欧拉公式为();
8、已知f
(1)=2,f
(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为();
9、两点式高斯型求积公式≈(),代数精度为();
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。
二、单项选择题:
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()。
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是()产生的误差。
A.A. 只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有()位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
4、幂法是用来求矩阵()特征值及特征向量的迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.所有的D.任意一个
5、用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是()。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是()。
A.B.C.D.
三、计算题:
1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字?
2、已知区间[0.4,0.8]的函数表
0.40.50.60.70.8
0.389420.479430.564640.644220.71736
如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?
并求该近似值。
3、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。
5﹑对方程组
(1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;
(2) 取初值,利用
(1)中建立的迭代公式求解,要求。
6﹑用复合梯形求积公式计算,则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?
复习题
(二)参考答案
一、1、2;2、倍;3、;
4、;5、截断,舍入;
6、;7、;
8、0.15;9、;
10、A的各阶顺序主子式均不为零。
二、1、B2、A3、B4、A、5、C6、A7、D
三、1、解:
设有n位有效数字,由 ,知
令,
取,
故
1、1、解:
应选三个节点,使误差
尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点最好,实际计算结果
,
且
3、解:
令.
且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为
则当时
,
故迭代格式
收敛。
取,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
且满足.所以.
4、解:
令得,得.
5、解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得:
.
6、解:
当0 要求近似值有5位有效数字,只须误差. 由,只要 即可,解得 所以,因此至少需将[0,1]68等份。 复习题(三) 一、填空题: 1、为了使计算的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式改写为。 2、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为,进行两步后根的所在区间为. 3、设,,则,, . 4、计算积分,取4位有效数字。 用梯形公式计算求得的近似值为,用辛卜生公式计算求得的近似值为,梯形公式的代数精度为,辛卜生公式的代数精度为。 5、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。 二、计算题: 1、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据. 2、用列主元素消元法求解方程组. 3、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。 4、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量,取,精确至7位有效数字。 5、用欧拉方法求 在点处的近似值。 6、给定方程 1)分析该方程存在几个根; 2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 复习题(三)参考答案 一、一、 1﹑,; 2﹑[0.5,1],[0.5,0.75]; 3﹑,,,; 4﹑0.4268,0.4309,1,3; 5﹑,,收敛的; 二、1、解: 列表如下 0 1.36 16.844 1.8496 22.90784 1 1.95 17.378 3.8025 33.8871 2 2.16 18.435 4.6656 39.8196 5.47 52.657 10.3177 96.61454 设所求一次拟合多项式为,则 解得, 因而所求的一次拟合多项式为 . 2、解: 回代得。 3、解: 又 故截断误差。 4、
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