全国卷三立体几何大题专题训练理0318141305Word下载.docx

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为正方形，E,F分别为AO,BC的中点，以。

下为折痕

把△£

）八；

折起，使点。

到达点P的位置，且PFLBF.

平面PEFL平面ABfD；

（2）求OP与平面A8FO所成角的正弦值.

5.［较难］（2018•新课标HI）如图，边长为2的正方形A8CD所在的平而与半圆弧CD所在平面垂直，〃是

CD上异于C，。

的点.

平而AMO_L平面3MC：

（2）当三棱锥M-A8C体积最大时，求而MA8与面MCQ所成二面角的正弦值.

6.［困难］（2018•新课标II）如图，在三棱锥P-A8C中，AB=BC=2^PA=PB=PC=AC=4,O为

AC的中点.

平而ABC；

（2）若点M在棱8C上，且二而角朋-以-C为30。

，求PC与平面以M所成角的正弦值.

7.［较易］（2017•新课标II）如图，四棱锥P-A8CO中，侧而用。

为等边三角形且垂直于底面ABCQ,AB=BC=^AD.NBAO=NA8C=90°

七是P。

2

直线CE〃平而以8：

（2）点M在棱PC上，且直线8M与底而A8CO所成角为45°

求二而角M-AB-。

的余弦值.

8.［一般］（2016•新课标H【）如图，四棱锥尸-A5CO中，出_1_底而ABC。

，AD//BC.AB=AD=AC=3,必=5C=4,M为线段A。

上一点，AM=2MO,N为PC的中点.

MN〃平面B4距

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

9.［一般］（2015•新课标H）如图，长方体ABCO-AiSGA中，A8=16,8c=10,A4i=8,点、E,F分别在A4］,5G上，A|E=O/=4,过点E,F的平面a与此长方体的而相交，交线围成一个正方形.

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）:

（2）求直线AE与平面a所成角的正弦值.

10.［一般］（2016•新课标U）如图，菱形ABCO的对角线AC与30交于点0,AB=5,AC=6,点2F

分别在AO,CD上，AE=CF=

EF交于BD于点H,将△OFF沿七尸折到△/）'

EF的位置,OD'

=VTo.

（I）证明：

O'

H_L平而从8cO：

11.［一般］（2016•新课标I）如图，在以月，B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面A8EF为正方形，AF=2FD.ZAFD=90°

且二面角。

-AF-E与二面角C-BE-/都是600.

（I）证明平面A8EFL平面EFOC：

（II）求二而角E-8C-A的余弦值.

参考答案

L【解答】证明：

（1）长方体ABCD-A&

GOi中，&

G_L平而

；

.BidBE,VBE±

ECP

平而ESQ.

解：

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE=AiE=l,<

BE_L平面ESG，；

・BELEBi，：

.AB=19

则E（1,1,1）,A（1,1,0）,Bi（0,1,2）,G（0,0,2）,C（0,0,0）,•；

BC上EBi,：

.EBi±

[^EBC.

故取平面EBC的法向量为1?

=^^=（-1,0,1）,

设平面ECG的法向量n=（x,y,z）,

由1,得，取x=l,得n=（1,-1,0）,

n-CE=0U+y+z=0

COS<

71=.」■,[二——9

…ImPInl2

二面角8-EC-G的正弦值为返.

2.【解答】证明：

（1）由己知得AD〃3E,CG//BE.J.AD//CG.

：

.AD.CG确定一个平面，

."

，C,G,。

四点共而，

由己知得ABd_8C,：

.AB±

W\BCGE.

YABu平面ABC,二平面A8C_L平而8CG£

（2）作垂足为从

平面BCGE,平面BCGEL平而ABC,

平面ABC,

由己知，菱形8CGE的边长为2,ZEBC=60°

EH=解,

以〃为坐标原点，市的方向为X轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系〃-xyz,则A（-1,1,0）,C（1,0,0）,G（2,0,V3），

CG=（1,0,心，AC=（2,-1,0）,

设平面ACGQ的法向量n=（x,y,z）,

则,三'

二-，+丘-°

取％=3,得i=（3,6,-小，

uACvn=2x-y=0

又平面5CGE的法向量为1=（0,1,0）,

.-.cos＜；

?

=手比=叵,n，1rInPIml2

，二而角B-CG-A的大小为300.

3.【解答】

（1）证明：

如图，过N作NHLAD,则N〃〃A4i，且阿上&

7，

又MB'

hk，•••四边形NM8H为平行四边形，则NM〃8H,

由N”〃裕I,N为AQ中点,得，为A。

中点，而E为BC中点，

J.BE//DH,BE=DH,则四边形BED〃为平行四边形，KOBH//DE.

.NM//DE.

•••NMC平面gDE,OEu平面GOE,

，MN〃平面CiDE；

（2）解：

以。

为坐标原点，以垂直于OC得直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以。

5所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，

则N（叵，，2）,M（V3>

1，2）,A】

（V5，-1,4）,22

NM=（^y-»

卷，0）'

NA［二（哼，2），

设平面4MN的一个法向量为需（x,%z），

又平面MA4］的一个法向量为1二（1,0,0），

4.【解答】

（1）证明：

由题意，点从F分别是A。

、8C的中点，

则皿片却，BF』C，乙乙

由于四边形A3CO为正方形，所以EE_L3C.

由于PF_LBREFCPF=F,则8F_L平面PEE

又因为BFu平面ABFD,所以：

平面PE/LL平面ABED.

（2）在平面PEE中，过P作PHLEF于点、H,连接。

〃,由于EF为而A8CO和而PEF的交线，PH工EF,则P〃，面ABFQ,故PHLDH.

在三棱锥尸-OEF中，可以利用等体积法求尸从

因为OE〃3/且尸F_L3E,

所以PFJ_OE,

又因为△PDFgACDF,

5.【解答】解：

在半圆中，DMLMC.

V正方形ABCD所在的平而与半圆弧而所在平面垂直,，4。

_1平面。

&

3,则AO_LMC,

9：

ADC\DM=D,

，"

。

_1_平而从。

河，

〈MCu平面MBC,

.平面AM£

）_L平面BMC.

（2）••.△ABC的面积为定值，

••・要使三棱锥M-ABC体枳最大，则三棱锥的高最大，

此时M为圆弧的中点，

建立以。

为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图

•・•正方形A3CQ的边长为2,

...A（2,-1,0）,B（2,1,0）,M（0,0,1）,

则平面MCO的法向量ir=（1,0,0）,

设平面M4B的法向量为n=（x,.v，z）

1）,

则AB=（0,2,0）,AK=（-2,

由irAB=2y=0,rrAM=-2（+y+z=0,

令x=l,

则y=0，z=2,KPn=（I，0，2）,

则cos<

ir，n>

=・■=：

I,

|m||n|1XV1+4机

则而MAB与面MCD所成二而角的正弦值sina=,]_（+）2

6.【解答】

（1）证明：

连接BO,

•：

AB=BC=2&

。

是AC的中点，

C.BOA.AC,且80=2,

又必=PC=P3=AC=4,

J.POLAC,尸。

=2日

则PB2=PO2+BO2,

则POA.OB,

•；

OBCAC=O,

，尸。

，平而ABC：

（2）建立以。

坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

A（0,-2,0）,P（0,0,2后，C（0,2,0）,B（2,0,0）,

BC=（-2,2,0）,

设而=入丽=（-2A,2入，0）,0<

A<

l

则氤=函-瓦=（-2A，2入，0）-（-2,-2,0）=（2-2入，2A+2,0）,

则平而出。

的法向量为ir=（1,0,0）,

设平面的法向量为n=（x,y,z）,

则忘=（0，-2,-2V3）＞

则♦而=-2y-2底=0,n*AM=（2-2A）x+（2A+2）y=0

令z=1,则y=-“，x=

1-入

HPn=（C，-6，1），1-A

;

二而角M-以-C为30°

（入+i）

up1_1__V3

^+1+3-1z

解得人=工或入=3（舍）,

3

则平面M力的法向量（2日-6，1），

PC=（0,2,-2后,

PC与平面PAM所成角的正弦值sine=lcos<

PC^3>

1=匚醇二誉」=曳3=1716*716164

7.【解答】

（1）证明：

取出的中点凡连接EF,BF,因为E是P。

的中点，

所以七F“二4。

，AB=8C=L。

，NBAD=NABC=90°

:

.BC〃LaD,

i222

，BCEF是平行四边形，可得CE〃斯，BFu平而用B,C&

t平面以8,

，直线CE〃平面用8：

四棱锥P-A3CQ中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底而ABCD,AB=BC=kw.

ZBAD=ZABC=90°

E是P。

取A。

的中点0,M在底而ABC。

上的射影N在。

C上，设AO=2,则A8=8C=1,0P=V3>

，/PCO=60°

直线8M与底面ABC。

所成角为45°

可得：

BN=MN,CN=®

MN,BC=1,

i+Lb^mBN2,8N=返，MN=®

322

作NQ_LAB于Q,连接M。

，ABLMN,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=J]2+*）2_VIo9

8.【解答】

（1）证明：

法一、如图，取PB中点G,连接AG,NG,

•・・N为PC的中点，

:

.NGHBC,且NG=%C，2

又二2，BC=4,S.AD//BC,

・AM〃BC,且AM=Lc,2

则N