专题03 全等三角形及其判定核心知识解读解析版Word格式.docx
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对应边(角)是相对于两个三角形而言的,是指两条边(两个角)之间的关系;
对边(角)是在同一个三角形中而言的,对边是指三角形中某个内角(顶点)所对的边,对角是指三角形中某个边所对的角.
在书写时通常将对应顶点写在相同的位置上.
5.全等三角形性质
(1)对应边、对应角相等;
(2)对应角的平分线,对应边的中线,对应边上的高分别对应相等;
(3)全等三角形的面积相等,周长相等.
6.几个常用图形中的全等三角形
(1)平移型
(2)翻折型
(3)旋转型
7.全等三角形判断定理
(1)SSS——三边分别对应相等的两个三角形全等.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)SAS——两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等.
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(3)ASA——两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等.
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(4)AAS——两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等.
∴△ABC≌△DEF(AAS).
(5)HL——斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(HL).
注意:
一般三角形的全等判断定理(SSS、SAS、ASA、AAS)同样适用于直角三角形全等的判定,即直角三角形全等的判定定理有5个.
二、典型例题精讲
例1.(2019·
广东期末)圣母大学计算机系的史戈宇教授带一家人去旅行,途中汽车被劫走报警911,而警察毫无作为,马自达汽车上安装的MMS系统,虽然可以提示汽车与手机APP之间的直线距离,但方位不准确,且不能实时提供数据.史教授利用“贪心算法”将被抢车辆定位在了一块区域内,这是芝加哥一个以暴乱和枪击文明的地区.
如下图所示,当史教授与同伴开车从点E向A点方向行驶时,汽车与手机APP之间直线距离逐渐变小,从A点驶向F点时,距离逐渐变大.当史教授与同伴开车从点F向B点方向行驶时,汽车与手机APP之间直线距离逐渐变小,从B点驶向G点时,距离逐渐变大.
史教授再次报警后,警察根据史教授确定的被盗汽车的位置,很快找到了被盗汽车,根据你学的数学知识,在图中画出被盗汽车的位置.
【分析】所谓“贪心算法”是指仅知道一动点与一不动点之间的直线距离而不知道方位时,怎么找到不动点的方法.也就是先沿着一个方向走,直到距离不再明显变小(这是说明我们前进的方向已经几乎垂直于我们和目标之间连线),就转到垂直方向再继续搜寻.
【答案】见解析.
【解析】解:
如图所示,连接EF,GF,过点A作AN⊥EF,过点B作BM⊥GF,直线AN、BM的交点即为P点位置.
例2.(2019·
辽宁期末)在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,BP是△ABC的角平分线,过点P作PD⊥AB于点D,将∠EPF绕点P旋转,使∠EPF的两边交直线AB于点E,交直线BC于点F,请解答下列问题:
当∠EPF绕点P旋转到如图1的位置,点E在线段AD上,点F在线段BC上,且满足PE=PF.
①请判断CP、CF、AE之间的数量关系,并加以证明.
②求出∠EPF的度数.
图1图2
①CP=CF+AE,理由如下:
∵在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,
∴AC=BC,∠A=∠ABC=45°
,AC⊥BC,
∵PD⊥AB,
∴∠APD=45°
,即PD=AD,
∵BP平分∠ABC,PD⊥AB,PC⊥BC,
∴PC=PD,
∵PE=PF,
∴Rt△PED≌Rt△PFC,
∴DE=CF,
∴CP=PD=AD=AE+ED=AE+CF;
②由①知:
∠DPE=∠CPF,
∴∠EPF=∠DPC,
∵∠ABC=45°
,
在四边形DPCB中,∠DPC=360°
-90°
-45°
=135°
即∠EPF=135°
.
例3.(2019·
山东期末)如图,B、E、F、C在同一条直线上,AF⊥BC于点F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF,
求证:
AB∥CD.
【解析】证明:
∵AF⊥BC,DE⊥BC,
∴∠DEC=∠AFB=90°
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
在Rt△ABF和Rt△DCE中,
AB=CD,BF=CE,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE,
∴∠B=∠C,
∴AB∥DC.
例4.(2019·
淄博月考)已知:
如图所示,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°
,AB=AC,AD=AE,点D、C、E三点共线,连接BD.
(1)△BAD≌△CAE;
(2)BD⊥CE.
(1)∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE;
(2)由
(1)知,BD=CE,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
由∠ABD+∠DBC=45°
,得∠ACE+∠DBC=45°
∴∠DBC+∠DCB=90°
即BD⊥CE.
例5.已知直线CD⊥AB于点O,∠EOF=90°
,射线OP平分∠COF.
(1)如图1,∠EOF在直线CD的右侧,且点E在点F的上方.
①若∠COE=30°
,求∠BOF和∠POE的度数;
②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系?
并说明理由.
(2)如图2,∠EOF在直线CD的左侧,且点E在点F的下方.
①请直接写出∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系.
②请直接写出∠POE与∠DOP之间存在怎样的数量关系.
(1)①∵CD⊥AB,
∴∠COB=90°
∵∠EOF=90°
∴∠COE+∠BOE=∠BOE+∠BOF,
即∠COE=∠BOF=30°
∴∠COF=120°
又∵OP平分∠COF,
∴∠COP=60°
∴∠POE=30°
;
②由①知,∠COE=∠BOF,∠COP=∠POF,
∴∠POE=90°
+∠POF,
∠BOP=90°
+∠COP,
∴∠POE=∠BOP.
(2)①由上知,∠COP=∠POF,
②∵∠POE=∠BOP,∠DOP+∠BOP=270°
∴∠POE+∠DOP=270°
例6.(2019·
山东期末)在等腰△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°
,求∠BCE的度数;
(2)如图2,当点D在线段BC上,如果∠BAC=60°
(3)设∠BAC=α,∠BCE=β,
①如图3,当点D在线段BC上移动,则α、β之间有怎么样的数量关系?
请说明理由.
②当点D在线段BC的反向延长线上移动时,α、β之间有怎么样的数量关系?
(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
在△ADB和△AEC中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ADB≌△AEC,
∴∠B=∠ACE,
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB,
即∠BCE=∠B+∠ACB,
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°
(2)∵∠BAC=60°
∴∠DAE=∠BAC=60°
∵AB=AC,AD=AE,
∴∠B=∠ACB=60°
,∠ADE=∠AED=60°
∵∠B=∠ACE=60°
∴∠BCE=120°
(3)①α+β=180°
,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
即∠B+∠ACB=β,
又∵α+∠B+∠ACB=180°
∴α+β=180°
②α=β,理由如下:
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠BCE+∠ACB,
∴∠BAC=∠BCE,
即α=β.
例7.(2019·
内蒙古月考)已知△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F.
(1)如图1,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°
,过点F作FG//BC,交直线AB于点G.
试说明:
FG+DC=AD.
图1
(2)如图2,若∠ABC=135°
,过点F作FG//BC,交直线AB于点G,直接写出FG,DC,AD之间满足的数量关系.
图2
(1)证明:
∵∠ADB=90°
,∠ABC=45°
∴∠BAD=∠ABC=45°
∴AD=BD,
∵∠BEC=90°
∴∠CBE+∠C=90°
∵∠DAC+∠C=90°
∴∠CBE=∠DAC,
∴△FDB≌△CDA
∵GF∥BD,
∴∠AGF=∠ABC=45°
∴∠AGF=∠BAD,
∴FA=FG,
∴FG+DC=FA+DF=AD;
(2)FG-DC=AD;
由
(1)知,AF=FG,∠BFD=∠ACD,AD=BD,∠FDB=∠ADC=90°
∴△FDB≌△CDA.
∴DC=DF,
∴FG-DC=AD.
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