自然数平方和公式的推导与证明Word文档下载推荐.docx
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1、
思考:
受高斯的启示,我们这里可以用什么方法去求和呢?
思考后知道,也可以用“倒序相加法”进行求和。
我们用两种方法表示:
①
②
由①+②,得
由此得到等差数列的前n项和的公式
对于这个公式,我们知道:
只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。
2、
除此之外,等差数列还有其他方法(读基础教好学生要介绍)
当然,对于等差数列求和公式的推导,也可以有其他的推导途径。
例如:
=
这两个公式是可以相互转化的。
把代入中,就可以得到
引导学生思考这两个公式的结构特征得到:
第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。
第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系,而且是关于n的“二次函数”,可以与二次函数进行比较。
这两个公式的共同点都是知道和n,不同点是第一个公式还需知道,而第二个公式是要知道d,解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
自然数平方和公式的推导与证明
(一)
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程。
其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容。
一、设:
S=12+22+32+…+n2
另设:
S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步设题是解题的关键,一般人不会这么去设想。
有了此步设题,
第一:
S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S,(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+(n2+2×
2n+22)+(n2+2×
3n+32)+…+(n2+2×
nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+12+22+32+…+n2,即
S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..
(1)
第二:
S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为:
S1=12+32+52…+(2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中:
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..
(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×
1-1)2+(2×
2-1)2+(2×
3-1)2+…+(2n-1)2
=(22×
12-2×
2×
1+1)+(22×
22-2×
2+1)2+(22×
32-2×
3+1)2+…+(22×
n2-2×
n+1)2
=22×
12+22×
22+22×
32+…+22×
1-2×
2-2×
3-…-2×
n+n
(12+22+32+…+n2)-2×
2(1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由
(2)+(3)得:
S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由
(1)与(4)得:
2S+n3+2n(1+2+3+…+n)=8S-4(1+2+3+…+n)+n
即:
6S=n3+2n(1+2+3+…+n)+4(1+2+3+…+n)-n
=n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
=n(2n2+3n+1)
=n(n+1)(2n+1)
S=n(n+1)(2n+1)/6
亦即:
S=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数。
由(5)代入
(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数。
二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….
(1)
有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...
(2)
由
(1)+
(2)得:
2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+
(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+
(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
.
(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+n2)
即2S=(n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1)-3(n-2)-…-n(n-n+1)]………………...(3)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6代入
(2)得:
2S=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×
1+3×
2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×
1+(2+1)×
2+…+(n-1+1)(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1+2+…+(n-1)]……...(4)
由12+22+…+(n-1)2=n(n+1)(2n+1)/6-n2,1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得:
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即S=13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4
结论:
自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4,其中n为自然数。
三、自然数偶数立方和公式推导
设S=23+43+63+…+(2n)3
有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1)2
自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2,其中2n为最后一位自然偶数。
四、自然数奇数立方和公式推导
设S=13+23+33+…+(2n)3
由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4,其中n为自然数代入左边
有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n)3+13+33+53…+(2n-1)3
=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3
移项得:
13+33+53…+(2n-1)3=n2(2n+1)2-2n2(n+1)2
=n2(2n2-1)
自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1),其中2n-1为最后一位自然奇数,即n的取值。
自然数平方和公式的推导与证明
(二)
这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。
1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
(n^2表示n×
n=n2为了好打字)
一、推导
1、直接推导:
1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2
2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2
3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2
.
(i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2
(i=0,……,n-1)
||
||
S
=
(2*n^3+3*n^2+n-2S)/4
两边求一下得所求S
此法较为直观正规
2、用其他的公式推导:
容易证明1x2+2x3+3x4+4x5+...+nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证,而左式可写成
1x2+2x3+3x4+4x5+nx(n+1)=(1x1+2x2+...+
nxn)+(1+2+...+n)
于是
1x1+2x2+...+
nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)
3、二项式推导:
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
4^3=3^3+3*3^2+3*3+1
.......
(n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1
sumupbothsidessubstractcommonterms:
(n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==>
solveforb
b=1^2+2^2+...+n^2
此法需要较强的基本功,属奥妙之作
4、立方差公式推导(此法高中生都能看懂吧)
5、用现成恒等式推导
二、证明
1、数学归纳法
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当n=1时,显然成立.
设n=k时也成立,即:
1^2+2^2+3^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
那么当n=k+1时,等式的左边等于:
1^2+2^2+3^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)/6+(k+1)]
=(k+1)[2k^2+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而等式的右边等于:
(当n=k+1时)
(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6
即当n=k+1时,等式左边等于等式的右边
所以对于一切n,等式都成立
此法给初中和小学生讲是没法了,现在的教育之痛,用某小学老师的话来说,小学生的题是出给家长作的,呜~,砖家当道啊,有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢
2、图形法
计算12+22+32+42。
根据平方的含义和乘法的含义,我们可以将这个算式改写:
12=1×
1=1、22=2×
2=2+
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