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1,E
(x1
xn)
1,所以
的数学期望又称为平
n
均数、均值。
(3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
2.性质:
①E()EE;
②若ab(a、b是常数),是随机变量,则也是随机变量,有
E(ab)aEb;
E(ab)aEb的推导过程如下:
:
的分布列为
ax1
b
ax2b
axib
P1
P2
Pi
于是E(ax1
b)p1
(ax2
b)p2(axi
b)pi
=a(x1p1x2p2xipi)b(p1p2pi)=aEb
∴E(ab)aEb。
要点二:
离散型随机变量的方差与标准差
1.一组数据的方差的概念:
已知一组数据x1,x2,,xn,它们的平均值为x,那么各数据与x的
差的平方的平均数
S21[(x1x)2+(x2x)2++(xnx)2]叫做这组数据的方差。
2.离散型随机变量的方差:
一般地,若离散型随机变量的概率分布为
则称D
=(x1
E)2
p1+(x2
E)2p2++(xn
E)2pi+称为随机变量
的方差,式中的E是随机变量的期望.
D的算术平方根D叫做随机变量的标准差,记作.
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了
随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;
方差(标准差)越小,
随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值).
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广
泛。
3.期望和方差的关系:
DE
(2)(E)2
4.方差的性质:
若ab(a、b是常数),是随机变量,则也是随机变量,
DD(ab)a2D;
要点三:
常见分布的期望与方差
1、二点分布:
若离散型随机变量服从参数为p的二点分布,则
期望
方差
Ep
Dp(1p).
证明:
∵P(
0)
q,P(
1)
p,0p1,pq1
∴E
q1
p
D
(0
p)2q
(1
p)2p
p(1
p).
2、二项分布:
若离散型随机变量服从参数为n,p的二项分布,即~B(n,P),则
期望EnP
方差Dnp(1-p)
期望公式证明:
k)Cnkpk(1p)nk
Cnkpkqnk,
Cn0p0qn
1Cn1p1qn1
2
Cn2p2qn2
...kCnkpkqnk
...nCnnpnq0,
又∵kCnk
k
n!
(n
1)!
nCnk
11,
k!
(nk)!
(k
[(n
(k
1)]!
∴Enp(Cn01p0qn1+C1n1p1qn2++Cnk11pk1q(n1)(k1)++Cnn11pn1q0)
np(pq)n1np.
3、几何分布:
独立重复试验中,若事件A在每一次试验中发生的概率都为p,事件A第
一次发生时所做的试验次数是随机变量,且P(k)(1p)k1p,
k0,1,2,3,,n,,称离散型随机变量服从几何分布,记作:
~P(k)g(k,P)。
若离散型随机变量
服从几何分布,且
~P(
k)g(k,P),
则
1
E.
1-p
Dp2
随机变量是否服从二项分布或者几何分布,要从取值和相应
概率两个角度去验证。
4、超几何分布:
若离散型随机变量服从参数为N,M,n的超几何分布,则
期望E()nM
N
要点四:
离散型随机变量的期望与方差的求法及应用
1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤:
①理解的意义,写出可能取的全部值;
②求取各个值的概率,写出分布列;
x1x2
p1p2
③根据分布列,由期望、方差的定义求出E、D
、
E
x1p1
Ep1
x2Ep2
xnEpn
D.
注意:
常见分布列的期望和方差,不必写出分布列,直接用公式计算
即可.
2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
①离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平;
②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中
与离散的程度。
方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量1和2,当需要了解他们的平均水平时,可比较E1和
E2的大小。
④E1和E2相等或很接近,当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度
时,比较D1和D2,方差值大时,则表明ξ比较离散,反之,则表明ξ比
较集中.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多
指标都与这两个特征数(数学期望、方差)有关.
【典型例题】
类型一、离散型随机变量的期望
例1.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ78910
1.0.
Pxy
13
已知ξ的期望Eξ=8.9,则y的值为.
【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质,求出
的值,再利用期望的定义求解;
x、y
【解析】x+0.1+0.3+y=1,即x+y=0.6.①
又7x+0.8+2.7+10y=8.9,化简得7x+10y=5.4.②
由①②联立解得x=0.2,y=0.4.
【总结升华】求期望的关键是求出分布列,只要随机变量的分布列求出,
就可以套用期望的公式求解,
举一反三:
【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下,且
E(ξ)=1.5,则a
-b为(
).
ξ
3
0.1
a
A.-0.1B
.0
C.0.1
D.0.2
【答案】B
由分布列的性质知:
0.10.1=1,
∴0.8.又E(ξ)=0×
0.1+1×
2×
3×
0.1=1.5,即21.2.
解得0.4,0.4,∴a-0.
【变式2】随机变量ξ的分布列为
ξ024
0.
4
,则E(5ξ+4)等于(
)
A.13
B.11
C.2.2
D.2.3
【答案】A
由已知得:
E(ξ)=0×
0.4+2×
0.3+4×
0.3=1.8,
∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×
1.8+4=13.
【变式3】节日期间,某种鲜花进货价是每束
2.5
元,销售价每束
5元;
节后卖不出去的鲜花以每束1.6
元价格处理.根据前五年销售情况预测,
节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布,
若进这种鲜花
500束,
则期望利润是
ξ200
300
400
500
0.2
0.3
5
A.706元
B.690元
C.754元
D.720元
节日期间预售的量:
Eξ=200×
0.2+300×
0.35+400×
0.3+500×
0.15=
40+105+120+
75=340(束),
则期望的利润:
η=5ξ+1.6(500-ξ)-500×
2.5=3.4ξ-450,
∴Eη=3.4Eξ-450=3.4×
340-450=706.
∴期望利润为706元.
【变式
4】设离散型随机变量
的可能取值为
1,2,3,4,且
P(
k)
ak
(
1,2,3,4
),
3,则
;
【答案】
0.1;
由分布列的概率和为
1,有(a
b)(2a
b)
(3a
(4ab)1,
又E
3,即1(ab)
2(2ab)
3(3ab)
(4a
3,
解得a
0.1,b0,故
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- 知识 讲解 离散 随机变量 均值 方差