最新数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算文档格式.docx

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；

这里：

k=i（i+1）/2+j 

（i≥j）

图5-1 

下三角矩阵

a00a10a11a20…an-1,0…an-1,n-1

k= 

0 

1 

2 

3 

… 

n（n-1）/2 

n（n+1）/2-1

图5-2下三角矩阵的压缩存储

反之，对所有的k=0,1，2,…,n（n+1）/2-1，都能确定ma[k]中的元素在矩阵A中的位置（i,j）。

这里，i=d-1，（d是使sum= 

>

k的最小整数），j= 

。

2.三对角矩阵

在三对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带内状区域中，除了主对角线上和直接在对角线上、下方对角线上的元素之外，所有其它的元素皆为零，见图5-3。

图5-3 

三对角矩阵A

与下三角矩阵的存储一样，我们也可以用一个一维数组ma[0..3n-2]来存放三对角矩阵A，其对应关系见图5-4。

a00a01a10a11a12…an-1,n-2an-1,n-1

4 

3n-3 

3n-2

图5-4下三角矩阵的压缩存储

A中的一对下标（i,j）与ma中的下标k之间有如下的关系：

公式中采用了C语言的符号，int（）表示取整，‘%’表示求余。

二、稀疏矩阵

在m×

n 

的矩阵中，有t个非零元。

令δ= 

称δ矩阵的稀疏因子，常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。

稀疏矩阵在工程中有着大量的应用，不少工程问题都可以转化为对稀疏矩阵的计算问题。

如何进行稀疏矩阵的压缩存储呢？

为节省存储空间，应只存储非零元素。

除了存储非零元的值之外，还必须记下所在行和列的位置（i,j），即一个三元组（i,j, 

）唯一确定了矩阵A的一个非零元素。

1.三元组顺序表

以顺序存储结构来表示三元组表，则可称稀疏矩阵的一种压缩存储方式。

//稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示。

#define 

MaxSize 

10 

//用户自定义

typedef 

int 

Datatype;

struct{ 

//定义三元组

int 

i；

//非零元的行下标

j;

//非零元的列下标

Datatype 

v;

//非零元的数据值

}TriTupleNode;

struct{

TriTupleNode 

data[MaxSize];

//非零元的三元组表

m,n,t;

//矩阵行，列及三元组表长度

}TriTupleTable;

2.十字链表

当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表，采用纵横交叉的十字链表就比较好。

在十字链表中，每个非零元可用一个含五个域的结点表示，其中i, 

j和e三个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right用以链接同一行中下一个非零元。

向下域down用以链接同一列中下一个非零元。

同一行中的非零元通过right域链接成一个线性链表，每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵构成了一个十字交叉的链表，故称这样的存储结构为十字链表，如图5-5所示。

图5-5 

稀疏矩阵M的十字链表

//用户自定义

struct 

OLNode{

i,j;

//该非零元的行和列下标

Datatype 

Struct 

OLNode 

*right,*down 

//该非零元所在行表和列表的后继链域

}OLNode;

*OLink;

{ 

OLink 

*rhead,*chead

mu,nu,tu;

}CrossList;

第二节用三元组表实现稀疏矩阵的基本操作

【问题描述】用三元组表实现稀疏矩阵的按列转置。

【数据描述】

struct

{//定义三元组

// 

非零元素的行下标和列下标

struct{//定义三元组表

【算法描述】

按照列序来进行转置。

为了找到每一列中所有的非零元素，需要对其三元组表从第一行起整个扫描一遍。

Status 

TransposeSMatrix（TriTupleTable 

a, 

TriTupleTable 

&

b）{

b.m=a.n;

b.n=a.m;

b.t=a.t;

if（b.t）{

q=0;

for（col=1;

col<

=a.n;

++col）

for（p=0;

p<

=a..t;

++p）

if（a.data[p].j==col）{

b.data[q].i=a.data[p].j;

b.data[q].j=a.data[p].i;

b.data[q].v=a.data[p].v;

++q;

}

return 

OK;

【C源程序】

#include 

<

stdio.h>

string.h>

Ok 

1

Maxsize 

//用户自定义三元组最大长度

/*定义三元组表*/

i，j;

data[Maxsize];

m;

n;

t;

/*矩阵行，列及三元组表长度*/

void 

InitTriTupleNode 

（TriTupleTable 

*a）{ 

/*输入三元组表*/

i,j,k,val,maxrow,maxcol;

char 

contiue;

maxrow=0;

maxcol=0;

i=j=0;

k=0;

while（i!

=-1&

j!

=-1）{ 

/*rol=-1&

col=-1结束输入*/

printf（"

input 

row 

\n"

）;

scanf（"

%d"

&

i）;

col 

j）;

value\n"

val）;

a->

data[k].i=i;

data[k].j=j;

data[k].v=val;

if 

（maxrow<

i） 

maxrow=i;

（maxcol<

j） 

maxcol=j;

k++;

m=maxrow;

n=maxcol;

t=k-1;

showMatrix（TriTupleTable 

/*输出稀疏矩阵*/

p,q;

t=0;

for（p=1;

=a->

p++）

{for（q=1;

q<

q++）

（a->

data[t].i==p&

data[t].j==q）

{printf（"

%d 

"

a->

data[t].v）;

t++;

else 

*a,TriTupleTable 

*b）

{int 

q,col,p;

b->

m=a->

n=a->

t=a->

if（b->

t）

{q=0;

if（a->

data[p].j==col）

data[q].i=a->

data[p].j;

data[q].j=a->

data[p].i;

data[q].v=a->

data[p].v;

main（ 

void）

{TriTupleTable 

*a,*b;

InitTriTupleNode（a）;

showMatrix（a）;

/*转置前*/

TransposeSMatrix（a,b）;

showMatrix（b）;

/*转置后*/

【测试数据】

输入：

输出：

7 

8 

8

【说明】

分析算法,主要的工作是在p和col的两重循环中完成，算法的时间复杂度为O（n*t）。

如果非零元素个数t和m*n同数量级时，算法的时间复杂度变为O（m*n2）。

【实验题】

1.稀疏矩阵按行序进行转置。

2.两个稀疏矩阵的相加运算。

第三节 

十字链表表示稀疏矩阵的基本操作

【问题描述】两个相同行数和列数的稀疏矩阵用十字链表实现加法运算

ele 

{/* 

十字链表结点类型*/

row, 

col;

double 

val;

*rig