弦振动分析王文璞Word格式.docx
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1.为什么吉它上的六根弦在弦长一致的情况下所发出的音调(声音的频率)不同?
2.在演奏时依靠什么来改变弦的音调?
3.为什么仅通过调整弦的张力就能进行校音?
教学过程:
教师布置任务,学生课外查资料、计算、分析,形成材料,集中讨论、答辩、教师总结。
成果形式:
撰写计算分析报告并进行分组汇报。
吉他弦图片
第二章模型的建立与振动方程的求解
1.横波运动分析
由于弦乐器是靠弦的振动发声的,而弦振动产生的声波属于横波,因而,要了解弦振动规律应从横波模型的运动分析入手。
设弦上有一向右传播的横波,如
图1所示.现具体分析弦上各点的运动规律。
当波沿工轴方向前进时,弦上各质点沿y轴上下振动,其位移可表示为
yx,t=Asinkx—wt川讥
图1横波及其质点的运动示意图
其中A为振动的振幅,k为波矢量,3为圆频率,巾为初位相。
弦上各质点振动的速度为
v=矽一Acoskx-t0②
dt
②式表明,各质点上下振动的速度在随位置、时间不断变化。
图1标出了部分质点振动的速度,其中ACE处质点振动的速度最大(3A),而B、D处质点振动速度最小(0).显然,弦上各质点的振动方向并非波的传播方向。
为得到波动沿弦传播时波速的表达式,现取波峰处一小段长度的弦作研究对象分析其受力情况,如图2所示.相对于弦内张力TI,弦的重力可以忽略.此时,两个张力合力的方向竖直向下成为使弦回到平衡位置的回复力F,.由牛顿第二定律得
Fy=may二」:
xay
图2波峰附近绳子的受力分析
③式中产为弦的线密度(即单位长度弦的质量),这段弦的加速度a,可由下式得
到
dVy2小
ay-二-Asinkx-』:
t❷④
2h2JT
由于波矢量k=—,波速v=f扎,所以kv=—f丸=co
故这段弦在波峰D处对应的加速度为
ay--■A--kv2A⑤
进而由牛顿第二定律可得弦的回复力为
22
Fy-「Xay-」kVAx⑥
现从受力角度讨论弦的回复力.因两张力竖直向下的分力合成弦的回复力,故
Fv二2Ttsinr⑦
由于二x「:
:
■,角度v应非常小.按照小角近似条件应有sinv-tanv,代换⑺得,
由于Fy二2Ttsin二二2Tttan二可表示弦在x=0处的斜率,而这段弦的振动方程为
y=Acoskx,故按斜率公式可得
tan八孰》也sin于
由于口很小,按照小角近似理论,sin—-v,于是⑧式
Fy=2T;
tan:
--k2AT^x
现比较⑥、⑨两式可得
Fy--」k2v2A:
x=—k2AT;
x
于是弦上传播的横波的波速表达式为
v=Tt⑩
\卩
2.弦模型中的驻波
以上讨论了正弦波的振动与传播规律•对于实际的弦乐器,因弦的两端固定,当弦被拨动时振动传播到弦两端会产生反射,而反射波和入射波在一定条件下叠加会形成驻波。
驻波振动的位移,由两个振幅相等、圆频率相同的反向传播正弦波叠加,则
Dx,t=asinkx-:
ti亠asinkxr'
t=2asinkxcos
考虑到驻波特点一弦的两端(即x=0,x=L)弦振动位移为零,因而上式必须满足
2F
2asinkL=0,或kL==n二,(n=1,2,3,...为波腹数)。
所以
由于频率f与波长又以及波速v满足关系式f二上,所以有
其振动频率很低,叫做基频或基音,此时对应’1=2L当n..2时,频率表达式形如式,对应频率较高,叫做泛音,其对应的频率别为基频的n倍.基音与泛音统称谐音。
上述结果表明,对于弦长、张力、线密度、材料性质一定的弦,两端固定时其自由振动频率不止一个,而是n个,并且仅与弦的固有力学参量有关,所以该频率也称为固有频率.每一个n对应于一种驻波,图3表示弦的三个驻波模式。
图3一维横驻波中的基频与泛频
第三章影响弦振动物理量分析
3.1.弦的长度对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型,令弦的张力To=4ON,令弦为钢丝这一材料,故密度r=1850Kg/m3,分别取弦的直径为:
d=0.30inch,弦的长度L=0.5m、0.6m、
0.7m、0.8m、0.9m、1.0m,针对不同长度的弦振动,利用MATLAB求解,编写
程序如下:
formatIong
L=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0];
%L表示弦长,单位m
To=input('
To='
);
%To表示弦张力,单位N
p=input('
p='
%p表示钢丝的密度,单位Kg/m3
d1=input('
d仁'
);
%d1表示弦的直径,单位inch
d=d1*2.54/100;
fori=1:
6
w1(i)=3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
w2(i)=2*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
w3(i)=3*3.14/(L(i))*sqrt(To/(p*3.14/4*d*d));
end
plot(L,w1,'
o-'
)
gridon
xlabel('
L弦的长度/m'
),ylabel('
第一阶固有频率/(rad/s)'
title('
不同弦长度时的第一阶固有频率'
plot(L,w2,'
第二阶固有频率/(rad/s)'
不同弦长度时的第二阶固有频率'
plot(L,w3,'
gridonxlabel('
L弦的长度/m'
第三阶固有频率/(rad/s)'
不同弦长度时的第三阶固有频率'
输入以上程序得到不同长度时共振频率如下图所示:
on・|iiii|
0as,QE0G£
Q7Q7£
QB03509口祐
La«
KM/m
图3-1弦不同长度时共振频率
32弦的张力对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型,令弦为钢丝这一材料,故密度〃=1850Kg/m3,分别取弦的直径为:
d=0.30inch,弦的长度L=0.6m,弦的张力
To=10N、20N、30N、40N、50N、60N,针对不同张力的弦振动,利用MATLAB求解,编写程序如下:
formatlong
L=input('
L='
%L表示弦长,单位m
d仁input('
d1='
To=[10,20,30,40,50,60];
%To表示弦张力,单位N
w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To(i)/(p*3.14/4*d*d));
end
plot(To,w1,'
To弦的张力/N'
不同弦张力时的第一阶固有频率'
plot(To,w2,'
不同弦张力时的第二阶固有频率'
plot(To,w3,'
To弦的张力/N'
不同弦张力时的第三阶固有频率'
输入以上程序得到不同张力时共振频率如下图所示:
图3-2弦不同张力时共振频率
3.3弦的粗细对其振动的影响
根据以上建立的力学振动模型,令弦长L=0.6m,弦的张力F=40N,令弦为
钢丝这一材料,故密度—1850Kg/m3,分别取弦的直径为:
d=0.10inch、0.14inch、
0.22inch、0.30inch、0.39inch、0.47inch,针对不同粗细的弦振动,利用MATLAB
求解,编写程序如下:
L=input('
%L表示弦长,单位m
To=input('
To二'
%To表示弦张力,单位N
p=input('
p二'
%p表示钢丝的密度,单位Kg/m3
d1=[0.10,0.14,0.22,0.30,0.39,0.47];
%d1表示弦的直径,单位inch
w1(i)=3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
w2(i)=2*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
w3(i)=3*3.14/(L)*sqrt(To/(p*3.14/4*d(i)*d(i)));
plot(d1,w1,'
d1弦的直径/(inch)'
不同弦直径时的第一阶固有频率'
plot(d1,w2,'
不同弦直径时的第二阶固有频率'
plot(d1,w3,'
第三阶固有频率/(rad/s)'
不同弦直径时的第三阶固有频率'
输入以上程序得到不同粗细时共振频率如下图所示:
图3-3弦不同粗细时共振频率
第四章结论与分析
通过对弦乐器振动规律的理论推导和分析,可得到如下结论:
1.弦上各质点的振动方向不等于波动的传播方向。
2.增大弦振动的振幅只能增大弦上各质点的振动速度,并不改变波动的传播速
度。
也就是说,弦振动振幅的改变,改变不了乐曲的音调。
3.决定弦振动频率的物理参量为L、To、卩,因而弦乐曲的音调就由这三个参量决定。
亦即弦长越短(L小),弦绷得越紧(To大),弦的线密度越小(卩小),音调也就越高(f高)o
4.在其他条件(如弦长,松紧程度)相同的情况下,使用不同性质、不同粗细的琴弦材料(即产不同),乐器音调也有差别。
实际中的弦乐器,这些物理参数都能根据需要改变,特别是弦的紧张程度最容易改变。
理论分析与实验证明:
弦乐器的音调与弦的长短、
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- 振动 分析 王文璞