椭圆方程数值解文档格式.docx
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为网格内点节点集合,为网格边界节点集合,。
对于内点,用如下的差分方程逼近微分方程(J.1):
(J.2)
其中。
(J.2)通常称为五点差分格式。
方程(J.2)可以整理改写为
(J.3)++++
对每一内点都可以列出这样一个方程。
方程中遇到边界点时,注意到边界点上函数值已知,将相应的项挪到右端去。
最后得到以的内点近似值为未知数的线性方程组。
这个方程组是稀疏的,并且当和足够小时是对角占优的。
用(J.1)的真解在网点上的值、等等分别替换(J.2)中的、等等,然后在点处作Tailor展开,便知差分方程(J.2)逼近微分方程(J.1)的截断误差阶为。
另外可以证明,五点差分格式的收敛阶为,并且关于右端和初值都是稳定的。
矩形网格差分格式的优点是计算公式简单直观。
但是,当是非矩形区域,并且边界条件包含法向导数(第二和第三边值条件)时,在矩形网格边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。
矩形网格的另一个大缺点是不能局部加密网格。
图J.1一般区域的矩形网格
J.2.三角网差分格式
本节我们将积分插值法用于三角网,建立三角网差分格式。
三角网差分格式具有网格灵活和法向导数边界条件易于处理等优点,特别地,它还保持积分守恒(质量守恒),深受使用者欢迎。
文献上常称之为有限体积法或广义差分法。
考虑有界区域上的Poisson方程
(J.4),
在边界的各个部分、和分别给定第一、第二和第三边值条件:
(J.5a)
(J.5b)
(J.5c)
其中是常数,是边界的外法向。
作的三角剖分:
在上取一系列点,连成闭折线,并记为由围成且逼近的多边形区域。
将分割成有限个三角形之和,使每个三角形的每个内角不大于,并且每个三角形的任一顶点与其他三角形或者不相交,或者相交于顶点。
引入如下术语。
节点:
三角形的顶点;
单元:
每个三角形;
相邻节点:
同一条边上的两个节点;
相邻单元:
有一条公共边的两个三角形。
对于任一节点,考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边,过每一条边作中垂线,交于外心,得到围绕该节点的小多边形,称为对偶单元。
全体对偶单元构成区域的一个新的网格剖分,称为对偶剖分。
图J.2三角网及其对偶剖分
图J.3内点(a)与边界点(b)的对偶单元
,,
对于和,分别利用右矩形公式和梯形公式计算所涉及到的积分,导出如下差分近似:
这里。
将上述六个公式带入(J.6)中,就得到边界点的差分方程。
所有内点和边界点的差分方程构成一个封闭的线性方程组,其系数矩阵是稀疏的,并且当时是对称的。
J.3椭圆方程的有限元法
有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。
它的基本想法是,首先把微分方程转化成一种变分方程(微分积分方程),从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求;
然后,把求解区域划分成有限个单元(有限元),构造分片光滑函数,这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定;
最后,把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去,就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组,解之即得有限元解。
与差分法相比,有限元法易于处理边界条件,易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。
函数集合作为例子,我们将考虑区间上的椭圆微分方程。
用表示在上勒贝格平方可积函数的集合,表示本身以及直到阶的导数都属于的函数的集合。
我们下面用到的主要是。
这里所说的导数准确地说是应该是广义导数,对此我们不予详细说明,只需知道比如说,连续的分片线性函数(折线函数)就属于,其广义导数是分片常数函数。
另外,我们还用到函数集合。
变分方程考虑两点边值问题
(J.7a)
(J.7b)
(J.7c)
其中都是区间上的光滑函数,并且,是一个正常数。
用中任一函数乘(J.7a)式两端,并在上积分,得
(J.8)
利用分部积分,并注意和,得
以此代入到(J.8)得到
(
J.9)
为了方便,定义
(J.10)
(J.11)
则相应于微分方程
(1)--(3)的变分方程为:
求满足
(J.12)
注意在(J.12)中不出现二阶导数。
我们已经看到,满足微分方程(J.7)的光滑解一定满足变分方程(J.12)。
而变分方程(J.12)的解称为微分方程(J.7)的广义解,它可能只有一阶导数,因此可能不是
(1)-(3)的解;
但是如果它在通常意义下二阶可微,则一定也是(J.7)的解。
另外,注意在变分方程(J.12)中,强制要求广义解满足边值条件,因而称之为强制(或本质)边界条件;
而对边值条件,则不加要求。
但是可以证明,如果广义解在通常意义下二阶可微,则一定有,即这个边界条件自然满足。
这类边界条件称之为自然边界条件。
总之,变分方程(J.12)不但降低了对解的光滑性的要求,也降低了对边值条件的要求。
有限元空间构造有限元法的第一步与差分法一样,也是对求解区间作网格剖分。
相邻节点之间的小区间称为第个单元,其长度为。
记。
顺便说一下,有限元法不要求步长是常数。
而差分法通常要求步长是常数,以免截断误差阶数降低。
在空间中,按如下原则选取有限元空间:
它的元素在每一单元上是次多项式,并且在每个节点上都是连续的。
当时,就得到最简单的线性元,这时每个可表为
,(J.13)
图J.3.一维线性元
线性元的另外一种表示方法用到以下具有局部支集的基函数:
(J.14)
(J.15)
图J.4.线性元的基函数
显然,任一可以表为
(J.16)
有限元方程将变分方程(9)局限在有限元空间上考虑,
就得到有限元方程:
求有限元解满足
(J.17)
注意到和都可以表示成(J.16)形式,容易看出(J.17)等价于如下的线性方程组:
求节点上的近似解满足
(J.18)
这个线性方程组是三对角的,可以用追赶法求解。
可以把微分方程(J.1)、变分方程(J.12)和有限元方程(J.18)比喻为确定“好人”的三种标准:
他每时每刻表现都好;
大家都说他好;
一个遴选委员会说他好。
误差估计可以证明,微分方程(J.1)的解和有限元方程(J.18)的解之间的误差满足
(J.19)
其中是一个常数;
表示如下定义的范数:
(J.20)
二维椭圆方程有限元法以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例:
,(J.21a)
(J.21b)
其中是以为边界的一个二维区域。
利用Green公式,容易推出相应的变分方程:
,(J.22)
其中函数集合由满足以下条件的所有函数组成:
在边界上为零,且本身及其广义偏导数在区域上勒贝格可积;
(
J.23)
(J.24)
二维区域上最常用剖分是形如下图的三角剖分:
我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。
对内点集合(例如上图中3,6,5这三个点)中每个节点,定义其基函数为一个分片线性函数,它在节点取值为1,而在所有其他节点为0。
这样,有限元空间中任一元素就可以表示成。
把它带入到变分方程(J.22)便得有限元方程:
求上的近似解满足
(J.25)
高次元可以从两个途径来提高有限元法的精度,一个是加密网格,另一个是利用高次元。
例如对于一维问题,可以使用所谓Hermite三次元,它在每一个单元上是一个三次多项式,由两个端点上的函数值和导数值总共4个待定参数确定。
这时,相应于(J.19)我们有误差估计
(J.26)
对于二维问题也可以使用高次元,但是其定义稍微复杂一点。
习题1设边值条件为,,步长为=0.25。
写出相应的线性元的各个基函数,并图示。
习题2假设如习题1,并设,,,具体写出线性元有限元方程相应的线性方程组。
习题3仿照(32),将Crank-Nicolson格式(33)写成线性方程组形式。
习题4将边界条件(3)换成,试推出相应于(14)的有限元方程。
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