江苏专用版高考数学大一轮复习第五章平面向量54平面向量的综合应用教师用书文Word格式.docx
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平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
2.向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具,常与函数(三角函数),解析几何结合,常通过向量的线性运算与数量积,向量的共线与垂直求解相关问题.
【知识拓展】
1.若G是△ABC的重心,则++=0.
2.若直线l的方程为Ax+By+C=0,则向量(A,B)与直线l垂直,向量(-B,A)与直线l平行.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若∥,则A,B,C三点共线.( √ )
(2)若a·
b>0,则a和b的夹角为锐角;
若a·
b<0,则a和b的夹角为钝角.( ×
)
(3)在△ABC中,若·
<
0,则△ABC为钝角三角形.( ×
(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:
=+t(+),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )
1.已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为________.
答案 4
解析 设a与b夹角为α,
∵|2a-b|2=4a2-4a·
b+b2
=8-4|a||b|cosα=8-8cosα,
∵α∈[0,π],∴cosα∈[-1,1],
∴8-8cosα∈[0,16],
即|2a-b|2∈[0,16],
∴|2a-b|∈[0,4].
∴|2a-b|的最大值为4.
2.设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为________.
答案 1∶2
解析 设D为AC的中点,
如图所示,连结OD,
则+=2.
又+=-2,
所以=-,即O为BD的中点,
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
3.(2016·
泰州模拟)平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足·
=4,则点P的轨迹方程是____________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).
答案 x+2y-4=0
解析 由·
=4,得(x,y)·
(1,2)=4,
即x+2y=4.
4.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·
(+)=________.
答案 -
解析 因为M是BC的中点,所以+=2,
所以·
(+)=-·
=-.
5.如图,△ABC是边长为2的等边三角形,P是以C为圆心,1为半径的圆上的任意一点,则(·
)min=__________.
答案 1
解析 取AB的中点D,连结CD、CP(图略).
=(+)·
(+)
=·
+·
(+)+2
=
(2)2×
-·
2+1
=7-6cos〈,〉,
当cos〈,〉=1时,·
取得最小值1.
题型一 向量在平面几何中的应用
例1
(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°
,E为CD的中点.若·
=1,则AB=________.
(2)已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的________.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)
答案
(1)
(2)重心
解析
(1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则=,∴==-,
又∵=+,
∴·
(-)
=2-·
-2
=||2+||||cos60°
-||2
=1+×
||-||2=1.
∴||=0,又||≠0,∴||=.
(2)由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
引申探究
在本例
(2)中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的______.(填“内心”“外心”“重心”“垂心”)
答案 内心
解析 由条件,得-=λ,即=λ,而和分别表示平行于,的单位向量,故+平分∠BAC,即平分∠BAC,所以点P的轨迹必过△ABC的内心.
思维升华 向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
(2)基向量法
适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.
(1)在△ABC中,已知向量与满足(+)·
=0,且·
=,则△ABC的形状为__________三角形.
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°
,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________.
答案
(1)等边
(2)5
解析
(1),分别为平行于,的单位向量,由平行四边形法则可知+为∠BAC的平分线.因为(+)·
=0,所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC.
又·
·
cos∠BAC=,所以cos∠BAC=,又0<
∠BAC<
π,故∠BAC=,所以△ABC为等边三角形.
(2)以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=y.
则D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),
P(0,y),
=(2,-y),=(1,a-y),
则+3=(5,3a-4y),
即|+3|2=25+(3a-4y)2,
由点P是腰DC上的动点,知0≤y≤a.
因此当y=a时,|+3|2的最小值为25.
故|+3|的最小值为5.
题型二 向量在解析几何中的应用
例2
(1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A、B、C三点共线,当k<
0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________________.
(2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足·
=0,则=________________________________________________________________________.
答案
(1)2x+y-3=0
(2)±
解析
(1)∵=-=(4-k,-7),
=-=(6,k-5),且∥,
∴(4-k)(k-5)+6×
7=0,
解得k=-2或k=11.
由k<
0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
(2)∵·
=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,
由=,得k=±
,即=±
.
思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用:
向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:
利用a⊥b⇔a·
b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
(2016·
盐城模拟)如图所示,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·
的最小值为________.
解析 ∵圆心O是直径AB的中点,
∴+=2,∴(+)·
=2·
,
∵与共线且方向相反,
∴当大小相等时,乘积最小.由条件知,当PO=PC=时,最小值为-2×
×
题型三 向量的其他应用
命题点1 向量在不等式中的应用
例3 已知x,y满足若=(x,1),=(2,y),且·
的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是________.
答案
解析 因为=(x,1),=(2,y),所以·
=2x+y,令z=2x+y,依题意,不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),观察图象可知,当目标函数z=2x+y过点C(1,1)时,zmax=2×
1+1=3,目标函数z=2x+y过点F(a,a)时,zmin=2a+a=3a,
所以3=8×
3a,解得a=.
命题点2 向量在解三角形中的应用
例4 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若20a+15b+12c=0,则△ABC最小角的正弦值等于________.
解析 ∵20a+15b+12c=0,
∴20a(-)+15b+12c=0,
∴(20a-15b)+(12c-20a)=0,
∵与不共线,
∴⇒
∴△ABC最小角为角A,
∴cosA===,
∴sinA=.
思维升华 利用向量的载体作用,可以将向量与三角函数、不等式结合起来,解题时通过定义或坐标运算进行转化,使问题的条件结论明晰化.
扬州模拟)如图,在同一平面内,点A位于两平行直线m,n的同侧,且A到m,n的距离分别为1,3.点B,C分别在m,n上,|+|=5,则·
的最大值是______.
解析 方法一 以直线n为x轴,过A且垂直于n的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则A(0,3),B(x1,2),C(x2,0),从而=(x1,-1),=(x2,-3),则·
=x1x2+3,又因为|+|=5,即=5,故(x1+x2)2=9≥4x1x2,从而x1x2≤,此时·
=x1x2+3≤,当且仅当x1=x2时等号成立.
方法二 设P为BC的中点,则+=2,
从而由|+|=5得||=,
=2-2=-2,
因为||≥2,所以2≥1,故·
≤-1=,
当且仅当||=2时等号成立.
三审图形抓特点
典例 (2016·
苏州一模)已知A,B,C,D是函数y=sin(ωx+φ)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图象上的
最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则ω,φ的值分别为______________.
―→―→
―→
解析 由E为该函数图象的一个对称中心,作点C的对称点M,作MF⊥x轴,垂足为F,如图.B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,知OF=.
又A,所以AF===,所以ω=2.同时函数y=sin(ωx+φ)图象可以看作是由y=sinωx的图象向左平移得到,故可知==,即φ=.
答案 2,
1.(教材改编)已知平面向量a,b,满足|a|=,|b|=2,a·
b=-3,则|a+2b|=________.
解析 由题意可得|a+2b|=
==.
2.(教材改编)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为________.
解析 ∵a⊥(a-b),∴a·
(a-b)=a2-a·
b=0,
∴a·
b=a2,∵|a|=1,|b|=,
∴cos〈a,b〉===,
又∵〈a,b〉∈[0,π],
∴向量a与向量b的夹角为.
南京模拟)已知向量a=
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