专题51平面向量的概念及线性运算高考数学一轮复习专题Word下载.docx

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（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．

（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．

（4）与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.

3.辨析向量有关概念的五个关键点

（1）向量定义的关键是方向和长度．

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（4）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．

（5）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．　

【例1】下列叙述错误的是________（填序号）．

①已知向量a∥b，且|a|>

|b|>

0，则向量a＋b的方向与向量a的方向相同；

②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；

③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；

④＋＝0；

⑤若λa＝λb，则a＝b.

【解析】对于①，当a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；

当a和b方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．

对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．

对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；

当a＝0但b≠0时，λ不存在．

对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0.

对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.

故②③④⑤均错误．

【例2】给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是．

【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；

但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．

②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．

③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．

④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

题型二平面向量的线性运算

【题型要点】

1.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：

a＋b＝b＋a；

结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋（－b）　

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ>

0时，λa与a的方向相同；

当λ<

0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；

（λ＋μ）a＝λa＋μ_a；

λ（a＋b）＝λa＋λb

2.向量线性运算的两个常用结论

（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，则＝（＋）.

（2）O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0.　　

【例1】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）

A.－B．－C.＋D．＋

【解析】

法一：

如图所示，＝＋＝＋＝×

（＋）＋（－）＝－，故选A.

法二：

＝－＝－＝－×

（＋）＝－，故选A.

【例2】

（2020·

合肥市第二次质量检测）在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.a＋bC.a－bD．a－b

【解析】通解：

如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.

优解一：

＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b，故选A.

优解二：

由＝，得－＝（－），所以＝＋（－）＝＋＝a＋b，故选A.

题型三平面向量共线定理的应用

【易错提醒】证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．

命题角度1　证明向量共线或三点共线

【例1】已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b（m，n∈R），则与共线的条件是（　　）

A．m＋n＝0B．m－n＝0C．mn＋1＝0D．mn－1＝0

【解析】：

由＝a＋mb，＝na＋b（m，n∈R）共线，得a＋mb＝λ（na＋b），即所以mn－1＝0.

【升华】证明向量共线：

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线．

命题角度2　由向量共线求参数的值

广东六校第一次联考）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为（　　）

A.B.C.D．

优解：

因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.

命题角度3证明三点共线

【例3】

江西吉安一中、新余一中等八所中学联考）设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【解析】　

（1）证明：

因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），所以＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝5（a＋b）＝5，所以，共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．

（2）因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±

1.

【规律】证明三点共线：

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．

题型四共线定理的推广与应用

一、共线定理：

已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.

二、推广形式：

如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y（x，y∈R）．

当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ（λ，μ∈R），则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.又＝x＋y（x，y∈R），

所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．因此得到结论：

＝x＋y，则x＋y＝m（定值），反之亦成立．

【例1】

江西上饶重点中学六校联考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

【解析】　由点D是圆O外的一点，可设＝λ（λ＞1），则＝＋＝＋λ＝λ＋（1－λ）.因为C，O，D三点共线，令＝－μ（μ＞1），所以＝－－·

（λ＞1，μ＞1）．因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈（－1，0）．

【例2】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．

【解析】　＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条

线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]

二、高效训练突破

一、选择题

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；

②若a与a0平行，则a＝|a|a0；

③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0　　　B．1　　　　C．2　　　D．3

向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

2．已知面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是（　　）

A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部

【答案】C.

由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．

3．（2020·

唐山二模）已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝（　　）

A．－2B．－C．－D．

.＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.

4.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（　　）

A．1B．－C．1或－D．－1或－

【解析】由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd（k<

0），于是λa＋b＝k[a＋（2λ－1）b]．

整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，

解得λ＝1或λ＝－.又k<

0，所以λ<

0，故λ＝－.

5.如图，已知＝，用，表示，则等于（　　）

A.－B.＋C．－＋D．－－

＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋.故选C.

6．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°

，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于（　　）

A．1　　　　　　　　　B．C.　　　　D．

由题意易得＝＋＝＋，所以2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

7．（2020·

广东华附、省实、广雅、深中联考）设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是（　　）

A．a∥bB．θ＝0C．θ＝D．θ＝π

＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选B.

8．（2020·

广东一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则（　　）

A.＝12＋3B．＝12－3

C.＝－12＋3D．＝－12－3

对于A，＝12＋3＝12（－）＋3（－）＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.

9.已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d反向共线，则实数λ的值为（　　）

A．1　　　　　　　　　B．－

C．1或－D．－1或－

由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd（k＜0），于是λa＋b＝k[a＋（2λ－1）b]．整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.

又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.

10.下列四个结论：

①＋＋＝0；

②＋＋＋＝0；

③－＋－＝0；

④＋＋－＝0.

其中一定正确的结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

①＋＋＝＋＝0，①正确；

②＋＋＋＝＋＋＝，②错；

③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；

④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．

11.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝