高考数学总复习求空间角和距离Word格式文档下载.docx
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设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|=||=.
(2)点到平面的距离
如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||=.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ×
)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ×
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ×
(4)两异面直线夹角的范围是,直线与平面所成角的范围是,二面角的范围是[0,π].( √ )
(5)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ.( ×
题组二 教材改编
2.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( )
A.45°
B.135°
C.45°
或135°
D.90°
答案 C
解析 cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°
.
∴两平面所成二面角为45°
或180°
-45°
=135°
3.[P117A组T4
(2)]如图,正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______.
答案
解析 以A为原点,以,(AE⊥AB),所在直线分别为x轴,y轴,z轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1的中点,
则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),∴=(1,,2),
=(1,0,2).
∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角,
cos∠C1AD=
==,
又∵∠C1AD∈,∴∠C1AD=.
题组三 易错自纠
4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°
,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
解析 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设直三棱柱的棱长为2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),∴=(1,-1,2),=(-1,0,2).
∴cos〈,〉=
==
=.
5.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为________.
答案 30°
解析 设l与α所成角为θ,∵cos〈m,n〉=-,
∴sinθ=|cos〈m,n〉|=,∵0°
≤θ≤90°
,∴θ=30°
6.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的角为______.
答案 45°
解析 如图,以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=PA=1,
则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
由题意,知AD⊥平面PAB,设E为PD的中点,连接AE,则AE⊥PD,
又CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD.
∴=(0,1,0),=分别是平面PAB,平面PCD的法向量,且〈,〉=45°
故平面PAB与平面PCD所成的角为45°
题型一 求异面直线所成的角
典例如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°
,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:
平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
(1)证明 如图所示,连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.
在菱形ABCD中,不妨设GB=1.
由∠ABC=120°
,
可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD,AB=BC=2,可知AE=EC.
又AE⊥EC,所以EG=,且EG⊥AC.
在Rt△EBG中,可得BE=,故DF=.
在Rt△FDG中,可得FG=.
在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=,从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,AC,FG⊂平面AFC,
所以EG⊥平面AFC.
因为EG⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)解 如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC所在直线为x轴,y轴,||为单位长度,建立空间直角坐标系Gxyz,由
(1)可得A(0,-,0),E(1,0,),F,C(0,,0),
所以=(1,,),=.
故cos〈,〉==-.
所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
跟踪训练(2017·
广东五校第一次诊断)如图所示,菱形ABCD中,∠ABC=60°
,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.
(1)求证:
BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°
时,求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小.
(1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥AE.
又∵AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACFE,
∴BD⊥平面ACFE.
(2)解 以O为原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向),建立空间直角坐标系,则B(0,,0),D(0,-,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>
0),=(-1,0,a).
设平面EBD的法向量为n=(x,y,z),
则有即
令z=1,则n=(-2,0,1),
由题意得sin45°
=|cos〈,n〉|=
解得a=3或a=-(舍去).
∴=(-1,0,3),=(1,-,2),
cos〈,〉==,
故异面直线OF与BE所成角的余弦值为.
题型二 求直线与平面所成的角
典例(2016·
全国Ⅲ)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
(1)证明 由已知得AM=AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
(2)解 取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC得AE⊥BC,
从而AE⊥AD,AE===.
以A为坐标原点,AE,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=.
设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则
即可取n=(0,2,1).
于是|cos〈n,〉|==.
设AN与平面PMN所成的角为θ,则sinθ=,
即直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
思维升华利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);
(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.
跟踪训练如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°
,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
(1)证明 易知AB,AD,AA1两两垂直,
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
设AB=t,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B(t,0,0),
B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).
从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0),
因为AC⊥BD,所以·
=-t2+3+0=0,
解得t=或t=-(舍去).
于是=(-,3,-3),A=(,1,0),
因为·
=-3+3+0=0,
所以⊥,即AC⊥B1D.
(2)解 由
(1)知,=(0,3,3),A=(,1,0),
=(0,1,0),
设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,
则 即
令x=1,则n=(1,-,).
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,
则sinθ=|cos〈n,〉|===,
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
题型三 求二面角
典例(2017·
全国Ⅱ)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°
,E是PD的中点.
直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°
,求二面角M-AB-D的余弦值.
(1)证明 取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°
,得BC∥AD,又BC=AD,
所以EF綊BC,四边形BCEF是平行四边形,CE∥BF,
又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,
故CE∥平面PAB.
(2)解 由已知得BA⊥AD,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),
B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
设M(x,y,z)(0<
x<
1),则
=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).
因为BM与底面ABCD所成的角为45°
而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,
所以|cos〈,n〉|=sin45°
=,
即(x-1)2+y2-z2=0.①
又M在棱PC上,设=λ,则
x=λ,y=1,z=-λ.②
由①②解得(舍去)或
所以M,从而=.
设m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,则
即
所以可取m=(0,-,2).
于是cos〈m,n〉=
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- 高考 数学 复习 空间 距离