新高考数学复习考点知识与题型专题讲解25双曲线的离心率文档格式.docx
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,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于.
【答案】
【解析】由,
由∠F1AF2=90°
得,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=.
考向二根据公式求离心率
1、渐近线方程为x±
y=0的双曲线的离心率是
A.B.1
C.D.2
解析根据渐进线方程为的双曲线,可得,所以,则该双曲线的离心率为,故选C.
2、若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±
2xB.y=±
x
C.y=±
xD.y=±
【答案】B
【解析】在双曲线中,离心率e===,可得=,故所求的双曲线的渐近线方程是y=±
x.
3.若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
(1)由题意知=,则e2=1+=,所以e=.
4、设F1,F2分别为双曲线-=1(a>
0,b>
0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·
|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为。
【解析】考虑双曲线的对称性,不妨设P在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a,而|PF1|+|PF2|=3b,
两式等号左右两边平方后相减,得|PF1|·
|PF2|=.
又已知|PF1|·
|PF2|=ab,∴ab=,得=(负值舍去).
∴该双曲线的离心率e====.
5、设F1,F2分别为双曲线-=1(a>
0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为。
【解析】由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,
即-3·
=4,解得=4(-1舍去).
因为双曲线的离心率e==,所以e=.
6、已知直线l过点A(-1,0)且与⊙B:
x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D,一条渐近线平行于l,则E的离心率为。
【答案】e
【解析】可设直线l:
y=k(x+1),⊙B:
x2+y2﹣2x=0的圆心为(1,0),半径为1,
由相切的条件可得,可得渐近线方程为,
直线l方程,联立x2+y2﹣2x=0,解得即D(),
设双曲线的方程为
又双曲线E过点D,代入D的坐标,可得则双曲线的方程为.
则
考向三根据几何关系找a,b,c的关系求离心率
1、已知F为双曲线C:
的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若,则C的离心率是
A.B.C.D.2
【答案】A
2、双曲线的左右焦点分别为的直线交双曲线左支于A,B两点,是以A为直角顶点的直角三角形,且,若该双曲线的离心率为e,则
A.B.C.D.
3、已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°
,则E的离心率为( )
A.B.2C.D.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>
0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图,
AB=BM=2a,∠MBA=120°
,作MH⊥x轴于H,则∠MBH=60°
,BH=a,MH=a,所以M(2a,a).
将点M的坐标代入双曲线方程-=1,得a=b,所以e=.故选D.
4、过双曲线C:
-=1(a>
0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为________.
【答案】2+
【解析】如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入-=1中,得y2=3b2,
不妨令点P的坐标为(2a,-b),此时kPF2==,
得到c=(2+)a,即双曲线C的离心率e==2+.
]
5、已知F1,F2是双曲线-=1(a>
0)的两个焦点,以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率e=________.
【答案】+1
【解析】依题意知,F1(-c,0),F2(c,0),不妨设M在x轴上方,则M(0,c),
所以MF1的中点为,代入双曲线方程可得-=1,
又c2=a2+b2,所以-=1,整理得e4-8e2+4=0,
解得e2=4+2(e2=4-2<
1舍去),所以e=+1.
6、设双曲线C:
的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线及其渐近线上各存在一点Q,P使得四边形OPFQ为矩形,则其离心率为.
【解析】依据题意作出如下图像,其中四边形OPFQ为矩形,
双曲线的渐近线方程为:
,
所以直线QO的方程为,直线QF的方程为:
联立直线OQ与直线QF的方程可得:
点Q的坐标为:
又点Q在双曲线上,所以
7.双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与圆x2+y2=a2相切,与C的左、右两支分别交于点A、B,若,则C的离心率为。
【解析】由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|=2a,
|AB|=|BF2|,可得|AF1|=2a,则|AF2|=|AF1|+2a=4a,
化简可得c4﹣10a2c2+13a4=0,可得e4﹣10e2+13=0,
解得e2=,可得,
.
8、已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若.则该双曲线的离心率为()
A.2B.3C.D.
根据题意可画出以上图像,过点作垂线并交于点,
因为,在双曲线上,
所以根据双曲线性质可知,,即,,
因为圆的半径为,是圆的半径,所以,
因为,,,,
所以,三角形是直角三角形,
因为,所以,,即点纵坐标为,
将点纵坐标带入圆的方程中可得,解得,,
将点坐标带入双曲线中可得,
化简得,,,,故选D。
考向四椭圆与双曲线综合求离心率
1、已知椭圆与双曲线有公共焦点,为与的一个交点,,椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,若,则_______.
如图,由椭圆定义及勾股定理得,,可得,同理可得
即,∵,∴.故答案为:
2、已知椭圆,双曲线.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;
双曲线N的离心率为__________.
【答案】2
分析:
由正六边形性质得渐近线的倾斜角,解得双曲线中关系,即得双曲线N的离心率;
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为,再根据椭圆定义得,解得椭圆M的离心率.
详解:
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为,再根据椭圆定义得,所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为,由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为,
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