中考数学专题复习16矩形折叠问题Word文件下载.docx
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例2.在长方形ABCD中,AB=4,BC=8,将图形沿着AC对折,如图所示:
(1)请说明△ABF△CFF
(2)求
在多问设置的证明题中,前几问往往是为后面的问题服务的;
所以得到全等之后,也就是得到了多组等量关系,此时我们再来设未知数,自然可以表示出其他线段了.
例3.在长方形ABCD中,AB=3,BC=5,将图形沿着EF对折,使得B点与D点重合。
(1)说明DE=DF
(2)求
(3)求EF的长度
(1)要说明DE=DF,有两种思路:
①可说明全等;
②可说明△DEF是等腰三角形,DE、DF是两腰
所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰
例4如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,①,△AEM的周长=_____cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.
(1)①设AE=x,由折叠的性质可知EM=BE=12-x,在Rt△AEM中,运用勾股定理求AE;
②过点F作FG⊥AB,垂足为G,连接BM,根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称,即BM⊥EF,又AB=FG,∠A=∠EGF=90°
,可证△ABM≌△GFE,把求EF的问题转化为求BM;
(2)设AE=x,AM=y,则BE=EM=12-x,MD=12-y,在Rt△AEM中,由勾股定理得出x、y的关系式,可证Rt△AEM∽Rt△DMP,根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长.
三.能力训练
1.如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是().
A.2+B.2+2C.12D.18
2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>
60°
,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为()
A.4B.3C.2D.1
3.如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠AMD′=36°
,则∠NFD′等于()
(A)144°
(B)126°
(C)108°
(D)72°
4.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,记与点A重合点为A',则△A'BG的面积与该矩形的面积比为()
A.B.C.D.
第4题图第5题图
5.如图,四边形ABCD是边长为9的正方形纸片,将其沿MN折叠,使点B落在CD边上的处,点A对应点为,且=3,则AM的长是()
A.1.5B.2C.2.25D.2.5
6.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点E、F分别在AB、CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A’,D’处,则整个阴影部分图形的周长为()
A.18cmB.36cmC.40cmD.72cm
7.如图,将边长为8㎝的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是()
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
8.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>
CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);
再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为.
9.如图矩形纸片ABCD,AB=5cm,BC=10cm,CD上有一点E,ED=2cm,AD上有一点P,PD=3cm,过P作PF⊥AD交BC于F,将纸片折叠,使P点与E点重合,折痕与PF交于Q点,则PQ的长是____________cm.
10.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B′的位置,AB′与CD交于点E.
(1)试找出一个与△AED全等的三角形,并加以证明.
(2)若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥EC于H,试求PG+PH的值,并说明理由.
思维拓展:
1.如图,折叠矩形的一边AD,折痕为AE,点E在边CD上,折叠后点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,AD=10cm,求AE的长.
2.如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折痕,且,求直线CE与x轴交点P的坐标;
3.已知:
在矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与B,C重合),过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E.请探索:
是否存在这样的点F,使得将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB上?
若存在,求出点F的坐标;
若不存在,请说明理由.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原。
(1)当时,折痕EF的长为;
当点E与点A重合时,折痕EF的长为;
(2)请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围,并求出当时菱形的边长;
(3)令,当点E在AD、点F在BC上时,写出与的函数关系式。
当取最大值时,判断与是否相似?
若相似,求出的值;
若不相似,请说明理由。
5.问题解决
如图
(1),将正方形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点,重合),压平后得到折痕.当时,求的值.
类比归纳
在图
(1)中,若则的值等于;
若则的值等于;
若(为整数),则的值等于.(用含的式子表示)
联系拓广
如图
(2),将矩形纸片折叠,使点落在边上一点(不与点重合),压平后得到折痕设则的值等于.(用含的式子表示)
参考答案
例1由题意可得:
AD=BC=10,又由折叠可知:
AF=AD=10DE=EF
∴在Rt△ABF中,根据勾股定理可得:
∴BF=6,∴FC=10-6=4。
设DE=,则,
故,在Rt△CEF中,根据勾股定理可得:
,解得:
即:
DE=5
另解:
本题亦可以由长方形的面积S长方形ABCD=S△ABF+S△ADE+S△AEF+S△ECF列出方程:
解得
例2解:
(1)由题意可得:
AD=BC=8,CD=AB=4
又由折叠可知:
AE=AD=8,CE=CD=4,∠E=∠D=90°
在△ABF与△CEF中:
∠B=∠E=90°
∠AFB=∠CFE(对顶角相等)
AB=CE=4
∴△ABF△CFF(AAS)
(2)∵△ABF△CFF,∴AF=FC,BF=EF
设EF=,则BF=,
∴在Rt△CEF中,由勾股定理可得:
解得:
即EF=3
∴
此题中对于△ABF,同样可以通过设未知数,利用勾股定理求解。
例3解:
(1)方法一:
由题意可得:
CD=AB=3,∠ADC=90°
由折叠可得:
DG=CD=3,∠G=∠C=90°
,∠GDF=∠B=90°
∴∠1+∠2=90°
,∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
故在△DEG与△DCF中:
∠G=∠C(已证)
DG=CD(已证)∴△DEG≌△DCF(ASA)
∠1=∠3(已证)∴DE=DF
方法二:
∵长方形ABCD∴AD∥BC
∴∠4=∠6(两直线平行,内错角相等)
又由折叠可知∠4=∠5
∴∠5=∠6(等量代换)
∴DE=DF(等角对等边)
(2)求
解:
由折叠可知:
EG=AE
设,则,∴
故在Rt△DEG中,根据勾股定理可得:
故EGDE=
例4
能力训练答案
1.B2.B3.B4.C5.B6.B7.A8.9.
10.
(1)△AED≌△CEB′
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=B′C=AD,∠B=∠B′=∠D
又∠B′EC=∠DEA
∴△AED≌△CEB′
(2)延长HP交AB于M,则PM⊥AB
∵∠1=∠2,PG⊥AB′
∴PM=PG
∵CD∥AB
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴AE=CH=8-3=5
在Rt△ADE中,DE=3
AD==4
∵PH+PM=AD
∴PG+PH=AD=4.
思维拓展答案:
1.5
2.(16,0)
3.设存在这样的点F,将△CEF沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,
过点E作EN⊥OB,垂足为N.
由题意得:
EN=AO=3,EM=EC=4-1/3k,MF=CF=3-1/4k,
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°
,
∴∠EMN=∠MFB.
又∵∠ENM=∠MBF=90°
∴△EMN∽△MFB.
∴EN/MB=EM/MF,
∴3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=[4(1-1/12k)]/[3(1-1/12k)],
∴MB=9/4.
∵MB²
+BF²
=MF²
∴(9/4)²
+(k/4)²
=(3-1/4k)²
,解得k=21/8.
∴BF=k/4=21/32.
∴存在符合条件的点F,它的坐标为(4,21/32).
4.解:
(1)3,
(2).
当时,如图1,连接,
为折痕,,
令为,则,
在中,,
解得,此时菱形边长为.
(3)如图2,过作,
易证,
当与点重合时,如图3,连接,
,,
.
显然,函数的值在轴的右侧随的增大而增大,
当时,有最大值.
此时,.
综上所述,当取最大值时,,
5.解:
方法一:
如图(1-1),连接.
由题设,得四边形和四边形关于直线对称.
∴垂直平分.∴
∵四边形是正方形,∴
∵设则
在中,.
∴解得,即
在和在中,,
设则∴
解得即分
∴
同方法一,
如图(1-2),过点做交于点,连接
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