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所以系统的响应为:
弹簧力为:
因此:
振幅为0.2m、周期为、弹簧力最大值为1N。
2.3重物悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置,另一重物从高度为处自由落到上而无弹跳,如图所示,求其后的运动。
取系统的上下运动为坐标,向上为正,静平衡位置为原点,则当有位移时,系统有:
由可知:
即:
系统的初始条件为:
(能量守恒得:
)
因此系统的响应为:
其中:
即:
2.4一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动,圆心受到一弹簧约束,如图所示,求系统的固有频率。
取圆柱体的转角为坐标,逆时针为正,静平衡位置时,则当有转角时,系统有:
(rad/s)
2.6求如图所示系统的周期,三个弹簧都成铅垂,且。
取的上下运动为坐标,向上为正,静平衡位置为原点,则当有位移时,系统有:
(其中:
(rad/s),(s)
2.7如图所示,半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆,试导出柱体的摆动方程,求其固有频率。
设物体重量,摆角坐标如图所示,逆时针为正,当系统有摆角时,则:
设为圆柱体转角速度,质心的瞬时速度:
,即:
记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为,则:
(或者理解为:
,转动和平动的动能)
由可知:
(rad/s)
2.8横截面面积为A,质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。
设从平衡位置压低距离x(见图),然后无初速度地释放,若不计阻尼,求浮子其后的运动。
建立如图所示坐标系,系统平衡时,由牛顿第二定律得:
有初始条件为:
所以浮子的响应为:
2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。
图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1,O2转动,它们相互啮合,不能相对滑动,在图示位置(半径O1A与O2B在同一水平线上),弹簧不受力。
摩擦轮可以看做等厚均质圆盘,质量分别为m1,m2。
两轮的质量分别为,因此轮的半径比为:
由于两轮无相对滑动,因此其转角比为:
取系统静平衡时,则有:
(rad/s),(s)
有一自动脱水洗衣机重W=20kN,由四根弹簧支承;
如图所示,每根弹簧的刚度由试验测定为k=800N/cm。
另有四个阻尼器,总的相对阻尼系数为=0.15。
洗衣机在初次脱水时,以n=300r/min运行。
此时,衣服偏心重为130N,偏心距为50cm。
由于结构的对称性,垂直方向的振动可视为单自由度系统,试求其垂直振幅。
解依题意,本题属于偏心质量引起的强迫振动问题。
首先求出系统的固有频率为
(1/s)
而激振力频率为
故。
说明此时系统不会发生共振,并且超过共振区较远。
由,可求得
=0.38
有一个阻尼弹簧—质量系统,m=8kg,k=5N/m,c=0.2N·
s/mm.试确定质量m振动时的位移表达式。
解系统的无阻尼固有频率为
rad/s
系统的临界阻尼系统为=400N·
s/m
系统的阻尼比为
显示系统是弱阻尼系统,其有阻尼固有频率为
A和由施于系统的初始条件决定。
有一无阻尼系统,其固有频率为n受到一简谐激励力的作用,试确定其强迫振动。
解系统的运动方程为
或
用代换有
假定方程解的形式为
代入上式,得
这是不成立的,除非F=0我们再假定方程的解为
代入,则得
因此,有
对于激励力,有
如图所示,有一仪器需要隔振,其允许振幅为0.2mm,隔振装置采用对称布置的8个并联的弹簧组成。
已知地面是按㎝的规律振动。
仪器重W=8kN,每个弹簧刚度为=130N/cm,忽略阻尼的影响,试求其传递率及所采用的隔振装置效果是否满足要求。
解这个问题属于消极隔振问题。
系统的固有频率为
地面的振动频率为
故有隔振效果。
因忽略阻尼影响,即ξ=0。
则根据式
得
又故
隔振效果是满足要求的.
其隔振效果有时又可用—隔振效率来表示
即通过隔振装置可以隔离掉激励振幅的85.1%。
有一阻尼系统,质量为m,弹簧刚度为k,测得其自由振动数据,试确定其阻尼大小。
解由阻尼自由振动的响应可知,在时间ti,系统运动幅值
在ti+Td时刻,)Td为周期,其振动幅值xi+T有
前后两幅值相比
令T=Tl
把代入上式得
在振动试验中可测上系统阻尼自由振动时的响应,求出δ,进而得到系统的阻尼比。
试用能量法求弹簧——质量系统的固有频率。
解:
设为量自静平衡位置的位移,则
因为系统作简谐振动,故其位移为
则
所以,
代入式并整理得到系统的固有频率
如图所示,一台仪器采用橡胶隔振器隔振,已知系统的固有频率为4Hz,橡胶隔振器的阻尼比ξ=0.142,如地面振动的垂直分量是正弦振动,振幅为1.5μ,最大振动速度为0.112mm/s,试求该仪器的强迫振动的振幅。
解依题意,首先将之简化为“图2(b)”所示的力学模型。
可见它是由于基础(或支承点)的运动而激励的。
支承点作正弦振动,其位移的规律为y=Asinωt。
设系统的质量块m运动的垂直坐标x是相对于固定在地面的坐标y的,则m相对于支承点的相对位移和相对速度分别为及。
因此,质量块m的受力图如“图2(c)”所示。
根据牛顿第二定得
化简上式便得到系统的运动微分方程
(1)
由题设是一简谐激励,所以作用于系统上的及两个力都是简谐激励力,因此系统的响应也应是一个简谐振动。
现采用复数法求解微分方程
(1)的响应。
设方程的解为
令,
这样可使位移与位移相差一个相位角ψ。
将之代入式
(1)得
或=,(a)
于是振幅B即为复数矢量的模,即
=
(2)
若将式(a)改写为
由此得
tanψ=(3),
式中的符号仍为
ξ=,,。
由式
(2)、式(3)得放大因子为
β=
ψ=
由题设,系统固有频率=4Hz,ξ=0.142,A=1.5μ,=0.1120mm/s。
则由,可求得地面振动的频率为
1/s,
又1/s,
故。
于是仪器的受迫振动的幅值可用式
(2)求得
B=
有一凸轮机构,凸轮以每分钟60转旋转,升程为10产生的锯齿形运动传给有阻尼弹簧—一质量系统,试确定系统的稳态响应。
在一个周期内激励函数可表示为
展成Fourier级数为
系统的运动方程为
因而系统的稳态响应为
确定无阻尼单自由度系统的矩形脉冲的响应。
解激励力的表达式为
系统的响应可分为两种情况考虑
1.t<
td
这时,系统的响应和6题的情况相同为
2.t>
一卷扬机,通过钢索和滑轮吊挂重物,重物重量W=147000N,以v=0.025m/s等速下降,如突然制动,钢索上端突然停止,这时钢索中的最大张力是多少?
钢索弹簧常数为5782×
103N/m。
解
以索丝停止这一时刻重物的平衡位置作为坐标原点,则系统可简化为图(c)
系统的固有频率rad/s
初始条件为=0=V
代入方程得A=0.00128
由振动引起钢索中的动张力
=7400.96N
钢索中总张力为=154400.96N
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