精品导学案 平面向量的概念及其线性运算Word下载.docx
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长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量
运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量
和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律:
a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
续表
减法
求a与b的
-b的和的
运算叫做
a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与
向量a的积
的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
辨析感悟
1.对共线向量的理解
(1)若向量a,b共线,则向量a,b的方向相同.(×
)
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(×
(3)(2013·
郑州调研改编)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ=-.(√)
(4)(2013·
陕西卷改编)设a,b为向量,则“|a·
b|=|a|·
|b|”是“a∥b”的充分必要条件.(√)
2.对向量线性运算的应用
(5)++=.(√)
(6)(教材习题改编)在△ABC中,D是BC的中点,则=(+).(√)
学生用书第69页
[感悟·
提升]
1.一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同,前者的起点可以不同,而后者必须在同一直线上.同样,两个平行向
量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上.
2.两个防范 一是两个向量共线,则它们的方向相同或相反;
如
(1);
二是注重零向量的特殊性,如
(2).
考点一 平面向量的有关概念
【例1】给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若a=b,b=c,则a=c;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中真命题的序号是________.
解析 ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵=,
∴||=||且∥,
又∵A,B,C,D是不共线的四点,
∴四边形ABCD为平行四边形;
反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.
③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同;
又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,
∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.
答案 ②③
规律方法对于向量的概念应注意以下几条:
(1)向量的两个特征:
有大小和方向,向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示;
(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;
(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小.
【训练1】设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故①是假命题;
若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
答案 D
考点二 平面向量的线性运算
例2】如图,在平行四边形OADB中,设=a,=b,B=,=.试用a,b表示,及.
解 由题意知,在平行四边形OADB中,=B
==(-)=(a-b)=a-b,
则=+=b+a-b=a+b.
==(+)=(a+b)=a+b,
=-=(a+b)-a-b=a-b.
规律方法
(1)进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.
【训练2】
(1)(2013·
四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=________.
(2)(2013·
泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( ).
A.=2B.=2
C.=2D.=2
解析
(1)∵+==2,∴λ=2.
(2)∵++==-,
∴=-2=2.
答案
(1)2
(2)D
考点三 向量共线定理及其应用
【例3】(2013·
郑州一中月考)设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:
A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
审题路线
(1)由向量的加法,得=+⇒用a,b表示⇒得到与的关系式⇒由向量共线定理,得与共线⇒再看是否有公共点⇒得到证明的结论.
(2)假设存在实数k⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据a,b是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得k值.
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b).
∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.
∴,共线,又它们有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)解 假设ka+b与a+kb共线,
则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即(k-λ)a=(λk-1)b.
又a,b是两不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=±
1.
规律方法
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.
学生用书第70页
【训练3】(2014·
西安模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为_____.
解析 由于c与d同向,所以c=kd(k>0),
于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],
整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.
由于a,b不共线,所以有
整理得2λ2-λ-1=0,所以λ=1或λ=-.
又因为k>0,所以λ>0,故λ=1.
答案 1
1.向量的加、减法运算,要在所表达的图形上多思考,多联系相关的几何图形,比如平行四边形、菱形、三角形等,可多记忆一些有关的结论.
2.对于向量共线定理及其等价定理,关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=λa,再结合条件或图形有无公共点证明几何位置.
方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算
【典例】(2012·
浙江卷)设a,b是两个非零向量.( ).
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
[一般解法](排除法)选项A,若b=-a,则等式|a+b|=|a|-|b|成立,显然a⊥b不成立;
选项B,若a⊥b且|a|=|b|,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=|a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立;
选项D,若b=a,则|a|-|b|=0,显然,|a+b|=2|a|≠0,故|a+b|=|a|-|b|不成立.
综上,A,B,D都不正确,故选C.
[优美解法](数量积法)把等式|a+b|=|a|-|b|两边平方,得(a+b)2=(|a|-|b|)2,
即2a·
b=-2|a|·
|b|,而a·
b=|a||b|cos<
a,b>
,
所以cos<
=-1.又因为<
∈[0,π],
所以<
=π,即a,b为方向相反的共线向量.故C正确.
[反思感悟]部分学生做错的主要原因是:
题中的条件“|a+b|=|a|-|b|”在处理过程中误认为“|a+b|=|a-b|”,从而得到“a⊥b”这个错误的结论.
【自主体验】
在△OAB中,=a,=b,OD是AB边上的高,若=λ,则实数λ=( ).
A.B.
C.D.
解析 由=λ,∴||=λ||.
又∵||=|a|cosA=|a|·
=,
||=|b-a|,∴λ==.故选C.
答案 C
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ).
A.=+B.=-
C.=-+D.=--
解析 由图可知=-.
答案 B
2.
(2014·
汕头二模)如图,在正六边形ABCDEF中,++等于( ).
A.0B.
C.D.
解析 因为ABCDEF是正六边形,故++=++=+=.
3.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ).
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
答案 A
4.(2014·
开封模拟)下列命题中,正确的是( ).
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a·
b=0,则a=0或b=0
C.若ka=0,则k=0或a=0
D.若a,b都是非零向量,则|a+b|>|a-b|
解析 对于A,显然不能得知a=b或a=-b,因此选项A不正确;
对于B,易知不正确;
对于C,易知正确;
对于D,注意到(a+b)2-(a-b)2=4a·
b,显然a·
b与零的大小关系不确定,因此选项D不正确.综上所述,选C.
5.(2014·
兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为( ).
A.B.C.D.
解析
设AB的中点为D,由5=+3,得3-3=2-2,即3=2.如图所示,故C,M,D三点共线,且=
,也就是△A
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