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;
4、点到平面的距离:
(三)空间直线及其方程
1、一般式方程:
2、对称式(点向式)方程:
方向向量:
3、两直线的夹角:
4、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
第九章多元函数微分法及其应用
1、连续:
2、偏导数:
;
3、方向导数:
其中为的方向角。
4、梯度:
,则。
5、全微分:
设,则
(一)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
2、微分法
1)复合函数求导:
链式法则
若,则
,
(二)应用
1)求函数的极值解方程组求出所有驻点,对于每一个驻点,令
,,,
1若,,函数有极小值,若,,函数有极大值;
2若,函数没有极值;
3若,不定。
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
曲线,则上一点(对应参数为)处的
切线方程为:
法平面方程为:
2)曲面的切平面与法线
曲面,则上一点处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
(一)二重积分:
几何意义:
曲顶柱体的体积
1、定义:
2、计算:
1)直角坐标
,
2)极坐标
,
(二)三重积分
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
2)柱面坐标
3)球面坐标
(三)应用
曲面的面积:
第十一章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
设在曲线弧上有定义且连续,的参数方程为,其中在上具有一阶连续导数,且,则
(二)对坐标的曲线积分
设L为面内从A到B的一条有向光滑弧,函数,在L上有界,定义,.
向量形式:
设在有向光滑弧上有定义且连续,的参数方程为
,其中在上具有一阶连续导数,且,则
3、两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为,上点处的切向量的方向角为:
则.
(三)格林公式
1、格林公式:
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数在D上具有连续一阶偏导数,
则有
2、为一个单连通区域,函数在上具有连续一阶偏导数,
则曲线积分在内与路径无关
(四)对面积的曲面积分
设为光滑曲面,函数是定义在上的一个有界函数,
定义
———“一单二投三代入”
,,则
(五)对坐标的曲面积分
设为有向光滑曲面,函数是定义在上的有界函数,定义同理,
2、性质:
1),则
计算:
——“一投二代三定号”
,,在上具有一阶连续偏导数,在上连续,则,为上侧取“+”,为下侧取“-”.
3、两类曲面积分之间的关系:
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
(六)高斯公式
1、高斯公式:
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数在上有连续的一阶偏导数,则有
或
2、通量与散度
通量:
向量场通过曲面指定侧的通量为:
散度:
(七)斯托克斯公式
1、斯托克斯公式:
设光滑曲面?
的边界?
是分段光滑曲线,?
的侧与?
的正向符合右手法则,在包含?
在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
2、环流量与旋度
环流量:
向量场沿着有向闭曲线?
的环流量为
旋度:
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1)无穷级数:
部分和:
正项级数:
交错级数:
2)级数收敛:
若存在,则称级数收敛,否则称级数发散
3)条件收敛:
收敛,而发散;
绝对收敛:
收敛。
1)改变有限项不影响级数的收敛性;
2)级数,收敛,则收敛;
3)级数收敛,则任意加括号后仍然收敛;
4)必要条件:
级数收敛.(注意:
不是充分条件!
)
3、审敛法
1)定义:
存在;
2)收敛有界;
3)比较审敛法:
,为正项级数,且
若收敛,则收敛;
若发散,则发散.
4)比较法的推论:
,为正项级数,若存在正整数,当时,,而收敛,则收敛;
若存在正整数,当时,,而发散,则发散.
5)比较法的极限形式:
,为正项级数,若,而收敛,则收敛;
若或,而发散,则发散.
6)比值法:
为正项级数,设,则当时,级数收敛;
则当时,级数发散;
当时,级数可能收敛也可能发散.
7)根值法:
8)极限审敛法:
为正项级数,若或,则级数发散;
若存在,使得,则级数收敛.
莱布尼茨审敛法:
,满足:
,且,则级数收敛。
任意项级数:
绝对收敛,则收敛。
常见典型级数:
几何级数:
p-级数:
(二)函数项级数
函数项级数,收敛域,收敛半径,和函数;
2、幂级数:
3、收敛半径的求法:
,则收敛半径
4、泰勒级数
展开步骤:
(直接展开法)
1)求出;
2)求出;
3)写出;
4)验证是否成立。
间接展开法:
(利用已知函数的展开式)
1);
2);
3);
4);
5)
6)
7)
8)
5、傅里叶级数
正交系:
函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间上积分为零。
傅里叶级数:
系数:
2)收敛定理:
(展开定理)
设f(x)是周期为2?
的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2)在一个周期内只有有限个极值点,
则f(x)的傅里叶级数收敛,且有
3)傅里叶展开:
①求出系数:
;
②写出傅里叶级数;
③根据收敛定理判定收敛性。
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