第13讲 新定义问题解析版Word下载.docx
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【解析】
(1+2i)(2﹣i)+(2﹣i)2=2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
=6﹣i﹣i2=6﹣i+1=7﹣i.
【例题2】阅读材料:
设=(x1,y1),=(x2,y2),如果∥,则x1•y2=x2•y1,根据该材料填空,已知=(4,3),=(8,m),且∥,则m= 6 .
【解析】∵=(4,3),=(8,m),且∥,
∴4m=3×
8,∴m=6;
故答案为6;
【例题3】已知点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离可表示为d=,例如:
点(0,1)到直线y=2x+6的距离d==.据此进一步可得两条平行线y=x和y=x﹣4之间的距离为 2 .
【解析】当x=0时,y=x=0,即点(0,0)在直线y=x上,
因为点(0,0)到直线y=x﹣4的距离为:
d===2,
因为直线y=x和y=x﹣4平行,所以这两条平行线之间的距离为2.
【例题4】阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:
一般地,若ax=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216,对数式2=log525,可以转化为指数式52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an,
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(M•N)=logaM+logaN
根据阅读材料,解决以下问题:
(1)将指数式34=81转化为对数式 4=log381 ;
(2)求证:
loga=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:
计算log69+log68﹣log62= 2 .
(1)4=log381(或log381=4),故答案为:
4=log381;
(2)证明:
∴==am﹣n,由对数的定义得m﹣n=loga,
又∵m﹣n=logaM﹣logaN,∴loga=logaM﹣logaN;
(3)log69+log68﹣log62=log6(9×
8÷
2)=log636=2.故答案为:
2.
【例题5】阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:
对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2,
(1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数;
(2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数.
例题:
证明函数f(x)=(x>0)是减函数.
证明:
设0<x1<x2,f(x1)﹣f(x2)=﹣==.
∵0<x1<x2,∴x2﹣x1>0,x1x2>0.
∴>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.
∴f(x1)>f(x2).∴函数f(x)═(x>0)是减函数
根据以上材料,解答下面的问题:
已知函数f(x)=+x(x<0),
f(﹣1)=+(﹣1)=0,f(﹣2)=+(﹣2)=﹣
(1)计算:
f(﹣3)= ,f(﹣4)= ;
(2)猜想:
函数f(x)=+x(x<0)是 函数(填“增”或“减”);
(3)请仿照例题证明你的猜想.
(1)∵f(x)=+x(x<0),
∴f(﹣3)=﹣3=﹣,f(﹣4)=﹣4=﹣故答案为:
﹣,﹣
(2)∵﹣4<﹣3,f(﹣4)<f(﹣3)
∴函数f(x)=+x(x<0)是增函数故答案为:
增
(3)设x1<x2<0,
∵f(x1)﹣f(x2)=+x1﹣﹣x2=(x1﹣x2)(1﹣)
∵x1<x2<0,∴x1﹣x2<0,x1+x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0∴f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=+x(x<0)是增函数
【例题6】按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:
a1,a2,a3,…,an,….
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:
数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差为d=2.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)等差数列5,10,15,…的公差d为 ,第5项是 .
(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:
a2﹣a1=d,a3﹣a2=d,a4﹣a3=d,…,an﹣an﹣1=d,….
所以
a2=a1+d
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
……
由此,请你填空完成等差数列的通项公式:
an=a1+( )d.
(3)﹣4041是不是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项?
如果是,是第几项?
(1)根据题意得,d=10﹣5=5;
∵a3=15,
a4=a3+d=15+5=20,
a5=a4+d=20+5=25,
故答案为:
5;
25.
(2)∵a2=a1+d
∴an=a1+(n﹣1)d
n﹣1.
(3)根据题意得,
等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项的通项公式为:
an=﹣5﹣2(n﹣1),
则﹣5﹣2(n﹣1)=﹣4041,
解之得:
n=2019
∴﹣4041是等差数列﹣5,﹣7,﹣9…的项,它是此数列的第2019项.
【例题7】若一个函数当自变量在不同范围内取值时,函数表达式不同,我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法,探究分段函数y=图象与性质.列表:
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
1
2
3
y
描点:
在平面直角坐标系中,以自变量x的取值为横坐标,以相应的函数值y为纵坐标,描出相应的点,如图所示.
(1)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,作出函数图象;
(2)研究函数并结合图象与表格,回答下列问题:
①点A(﹣5,y1),B(﹣,y2),C(x1,),D(x2,6)在函数图象上,则y1 y2,x1 x2;
(填“>”,“=”或“<”)
②当函数值y=2时,求自变量x的值;
③在直线x=﹣1的右侧函数图象上有两个不同的点P(x3,y3),Q(x4,y4),且y3=y4,求x3+x4的值;
④若直线y=a与函数图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
(1)如图所示:
(2)①A(﹣5,y1),B(﹣,y2),
A与B在y=﹣上,y随x的增大而增大,∴y1<y2;
C(x1,),D(x2,6),
C与D在y=|x﹣1|上,观察图象可得x1<x2;
故答案为<,<;
②当y=2时,x≤﹣1时,有2=﹣,∴x=﹣1;
当y=2时,x>﹣1时,有2=|x﹣1|,∴x=3或x=﹣1(舍去),故x=﹣1或x=3;
③∵P(x3,y3),Q(x4,y4)在x=﹣1的右侧,
∴﹣1≤x≤3时,点P,Q关于x=1对称,则有y3=y4,∴x3+x4=2;
④由图象可知,0<a<2;
【例题8】数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:
如图1,将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上,一端A固定在桌面上,图2是示意图.
活动一
如图3,将铅笔AB绕端点A顺时针旋转,AB与OF交于点D,当旋转至水平位置时,铅笔AB的中点C与点O重合.
数学思考
(1)设CD=xcm,点B到OF的距离GB=ycm.
①用含x的代数式表示:
AD的长是 cm,BD的长是 cm;
②y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .
活动二
(2)①列表:
根据
(1)中所求函数关系式计算并补全表格
x(cm)
6
5
4
3.5
2.5
0.5
y(cm)
0.55
1.2
1.58
_____
2.47
4.29
5.08
②描点:
根据表中数值,继续描出①中剩余的两个点(x,y).
③连线:
在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
(1)①如图3中,由题意AC=OA=AB=6(cm),∵CD=xcm,
∴AD=(6+x)(cm),BD=12﹣(6+x)=(6﹣x)(cm),故答案为:
(6+x),(6﹣x).
②作BG⊥OF于G.∵OA⊥OF,BG⊥OF,
∴BG∥OA,∴=,∴=,∴y=(0≤x≤6),故答案为:
y=,0≤x≤6.
(2)①当x=3时,y=2,当x=0时,y=6,故答案为2,6.
②点(0,6),点(3,2)如图所示.
③函数图象如图所示.
(3)性质1:
函数值y的取值范围为0≤y≤6.
(4)性质2:
函数图象在第一象限,y随x的增大而减小.
【例题9】定义:
有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形这两个角的夹边称为邻余线.
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.
求证:
四边形ABEF是邻余四边形.
(2)如图2,在5×
4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上.
(3)如图3,在
(1)的条件下,取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,QB=3,求邻余线AB的长.
(1)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°
,∴∠DAB+∠DBA=90°
,∠FAB与∠EBA互余,
∴四边形ABEF是邻余四边形;
(2)如图所示(答案不唯一),四边形AFEB为所求;
(3)∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD,∵DE=2BE,∴BD=CD=3BE,
∴CE=CD+DE=5BE,∵∠
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