江苏专版中考压轴题突破系列05二次函数中的角的存在性问题Word格式.docx

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若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴分别交于点C，其中点A（﹣1，0），点C（0，2），且∠ACB＝90°

（1）求抛物线的解析式．

（2）点P是线段ABC一动点，过P作PD∥AC交BC于D，当△PCD面积最大时，求点P的坐标．

（3）点M是位于线段BC上方的抛物线上一点，当∠ABC恰好等于△BCM中的某个角时，求点M的坐标．

5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．

6．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中的点A（0，4），抛物线y1＝ax2+bx+c经过原点O和点C，并且有最低点G（2，﹣1），点E，F分别在线段OC，BC上，且S△AEF＝S矩形OABC，CF＝1，直线BE的解析式为y2＝kx+b，其图象与抛物线在x轴下方的图象交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当y1＜y2＜0时，求x的取值范围；

（3）在线段BD上是否存在点M，使得∠DMC＝∠EAF，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

1．【分析】

（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：

（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①△PBA的面积S＝PN×

OA＝×

4×

（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，即可求解；

②（Ⅰ）若：

∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，即可求解；

（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，M2、M1关于B对称，即可求解．

【解答】

（4，0）、（0，2），

将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：

，解得：

，

故抛物线的表达式为：

y＝﹣x2+x+2；

（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），

则：

△PBA的面积S＝PN×

（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，

当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；

②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；

（Ⅰ）若：

∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，

则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，

解得：

a＝，

故点M1（，）；

（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，

则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，

作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，

则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，

故直线QH表达式中的k为2，

设直线QH的表达式为：

y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：

b＝2，

故直线QH的表达式为：

y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，

M2、M1关于B对称，

∴M2（﹣，）；

综上，点M的坐标为：

（，）或（﹣，）．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

2．【分析】

（1）直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标分别为：

（5，0）、（0，5），即可求解；

（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，即可求解；

（3）分点Q（6，5）、点Q（﹣1，12）两种情况，分别求解即可．

（5，0）、（0，5），

则c＝5，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：

b＝﹣6，

y＝x2﹣6x+5；

（2）过点A作直线BC的平行线n交y轴于点M，则点M（0，1），则CM＝5﹣1＝4，

在点C上方取CN＝CM＝6，过点N作直线m交抛物线于点Q（Q′），则点Q为所求，

则点N（0，11），则直线m的表达式为：

y＝﹣x+11…②，

联立①②并解得：

x＝﹣1或6，

故点Q（﹣1，12）或（6，5）；

（3）过点A作AK⊥BC于点K，

AB＝4，则AK＝BK＝2，AC＝，

则sin∠ABC＝＝＝sinα，则tan；

①当点Q（6，5）时，

过点H作HR⊥AQ交QA的延长线于点R，

由点A、Q的坐标知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°

，AQ＝5，

则HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝＝＝，

x＝10，AH＝x＝20，

故点H（﹣19，0）；

②当点Q（﹣1，12）时，

同理可得：

点H（﹣，0）；

综上，点H的坐标为：

（﹣19，0）或（﹣，0）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

3．【分析】

（1）将点A（﹣1，0）代入得：

﹣1﹣b+3＝0，解得：

b＝2，即可求解；

（2）DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a，，整理得a2﹣3a+2＝0，即可求解；

（3）①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，△BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BC，即可求解；

②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4，过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M，即可求解．

∴抛物线解析式为：

y＝﹣x2+2x+3；

（2）当﹣x2+2x+3＝0时

x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB＝4，

∵C（0，3），

∴OC＝3

∴

∵，

∵B（3，0）、C（0，3），

∴yBC＝﹣x+3

如图1，设D（a，﹣a2+2a+3），

过点D作x轴垂线，交BC于点H，则H（a，﹣a+3）

∴DH＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a

∴，整理得a2﹣3a+2＝0

a1＝1，a2＝2，

当a＝1时，y＝4；

当a＝2时，y＝3

∴D（1，4）或D（2，3）；

（3）存在

①如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、P2，此时∠CPO＝∠BPO，

∵△BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BC

∴yOP＝x，由得x2﹣x﹣3＝0，

∴，；

②如图3，作△BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4

∵BO＝CO，

∴∠BP3O＝∠CP3O

∵BC为直径，

∴∠BP3C＝90°

过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点M

∵∠CNP3＝∠P3MB＝∠CP3B＝90°

∴∠NP3C+∠MP3B＝90°

，∠MP3B+∠MBP3＝90°

∴∠NP3C＝∠MBP3，

∴tan∠NP3C＝tan∠MBP3，∴

设，

则

∴，整理得：

m2﹣m﹣1＝0

当时，点P在第二象限，此时∠CPO＞∠BPO，故舍去

当时，，

∴P3（，）；

综上所述：

；

．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本性质、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

4．【分析】

（1）根据射影定理求出点B（4，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入求出a＝﹣，然后化为一般式即可；

（2）过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），用待定系数法分别求出直线BC，直线AC，直线PD的解析式，可表示出点E，点D的坐标，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可；

（3）分两种情况求解：

当∠BCM＝∠ABC时和当∠CBM＝∠ABC时，由相似三角形的性质可求出点M的坐标．

（1）∵A（﹣1，0），C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，

∵∠ACB＝90°

∴由射影定理可得：

OC2＝OA•OB，

∴OB＝4，

∴点B（4，0），

设抛物线的解析式为：

y＝a（x+1）（x﹣4），将点（0，2）代入上式得：

a×

1×

（﹣4）＝2

a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝；

（2）如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点E，设P（m，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把B（4，0），C（2，0）代入得，

∴，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，

同样的方法可求得直线AC的解析式为y＝2x+2，

可设直线PD的解析式为y＝2x+b，把P（m，0）代入得b＝﹣2m，

联立，解得，．

∴．

∴＝＝﹣．

故当m＝＝时，S最大，此时P（，0）．

（3）由题意知，∠BMC≠∠ABC，

当∠BCM＝∠ABC时，CM∥AB，如图2，

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称，

∴M（3，2）；

当∠CBM＝∠ABC时，如图3，过M作MF⊥BC于F，过F作y轴的平行线，交x轴于G，交过M平行于x轴的直线于K，

∵∠CBM＝∠ABC，∠BFM＝∠BGF，

∴△MFK∽△FGB，

同理可证：

△MBF∽△MFK∽△FBG∽△CBO，

∴，．

设G（n，0），则F（n，﹣+2），

∴，KF＝﹣，

∴M（），代入抛物线解析式可解得，

n＝，n＝4（舍去）．

∴，）．

综合以上可得M点的坐标为（3，2）或（）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性