利用换元法解一元高次方程_精品文档.doc
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利用换元法解一元高次方程
在初中数学竞赛中,常常会出现一些高次方程求解问题,解这类问题的核心思想是降次,而换元法是其最主要的方法,所谓换元法,是指把方程中某些代数式用新的变量代替,使方程的次数降低,从而化难为易,使问题得以解决,这里举例说明如下.
一、直接换元
例1解方程:
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24.
分析与解
∵(x+1)(x+4)=x2+5x+4,
(x+2)(x+3)=x2+5x+6,
设t=x2+5x+4,
则可将原方程转化为关于t的一元二次方程
t(t+2)=24.
即t2+2t-24=0,(t-4)(t+6)=0,
∴t=4.t=-6.
当t=4时,x2+5x=0,
∴x=0,或x=-5;
当t=-6时,x2+5x+10=0,此方程无解.
故原方程的解为x=0,或x=-5.
二、均值换元
即求出几个代数式的平均值,利用平均值进行代换.
例2解方程:
(4x+1)(3x+1)(2x+1)(x+1)=3x4.
分析与解根据上面的经验,这样的方程左边是不能完全展开的,只能部分展开.
∵(4x+1)(x+1)=4x2+5x+1,
(3x+1)(2x+1)=6x2+5x+1,
两个代数式有相同的一次项和常数项,故设t=5x2+5x+1,则原方程可化为
(t-x2)(t+x2)=3x4.
∴t2=4x4,t=2x2或t=-2x2,
代回即可求得原方程的根为:
x=.
注当然本题也可以直接设t=4x2+5x+1或者t=6x2+5x+1.
例3解方程:
(x+2)4+(x-4)4=272.
分析与解若将方程左边展开,将得到难解的高次方程.
注意到[(x+2)+(x-4)]=x-1,
故可设y=x-1,则原方程可化为
(y+3)4+(y-3)4=272,即
y4+54y2-55=(y2-1)(y2+55)=0,
∴y=±1.
∴x-1=±1,∴x=0或2.
三、双变量换元
例4解方程:
(4x2-9)2+(4x2-9)(9x2-4)+(9x2-4)2=(13x2-13)2.
分析与解注意到
(4x2-9)+(9x2-4)=13x2-13,
设m=4x2-9,n=9x2-4.
则原方程可化为
m2+mn+n2=(m+n)2,
即mn=0,
则有(4x2-9)(9x2-4)=0,
解得x=±,±.
注用换元法解方程,有时引入的新变量可以不止一个,如本题中引入了m,n.
在例1中,如果注意到
(x+1)(x+4)-(x+2)(x+3)=-2,
还可以设m=(x+1)(x+4),
n=-(x+2)(x+3),
则有
由韦达定理可知m,n是方程z2-2z-24=0的根,求解这个方程即可以得到原方程的根(过程略).
四、倒数换元
形如ax4+bx3+cx2+bx+a=0(a≠0)的倒数方程可以两边同除以x2,降次换元.
例5解方程:
12x4-56x3+89x2-56x+12=0.
分析与解直接因式分解比较困难,容易发现该方程是倒数方程(与首尾等距离的项的系数相等).又因为x=0不是方程的根,所以两边同时除以x2,得
五、常值换元
将某一常值看作未知数,原来的未知数当成常数,则可以把高次方程转化为低次方程.
例6解方程:
.
分析与解这是关于x的三次方程,直接解这个方程有一定困难,如果把看成未知数,则原方程可化为
求解高次方程的方法还有很多,需要我们在平时的学习过程中,不断整理,不断总结,逐步深化,灵活运用.
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