浙江专版届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测Word文档下载推荐.docx
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解析 f′(x)=ex+xex=(x+1)ex,
又切线的倾斜角大于,
所以f′(x)<
0,即(x+1)ex<
0,解得x<
-1.
4.函数f(x)=的部分图象大致为( )
解析 由题意得f(x)为奇函数,排除B;
又f
(1)=<
1,排除A;
当x>
0时,f(x)=,
所以f′(x)=,函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,排除D.
5.若函数f(x)=lnx+ax2-2在区间内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.
C.D.(-2,+∞)
答案 D
解析 对f(x)求导得f′(x)=+2ax=,
由题意可得2ax2+1>
0在内有解,
所以a>
min.
因为x∈,
所以x2∈,∈,
-2.
6.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )
①f(b)>
f(a)>
f(c);
②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;
③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值;
④函数f(x)的最小值为f(d).
A.③B.①②C.③④D.④
答案 A
解析 由导函数的图象可知函数f(x)在区间(-∞,c),(e,+∞)内,f′(x)>
0,
所以函数f(x)在区间(-∞,c),(e,+∞)内单调递增,在区间(c,e)内,f′(x)<
所以函数f(x)在区间(c,e)内单调递减.
所以f(c)>
f(a),所以①错;
函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值,故②错,③对;
函数f(x)没有最小值,故④错.
7.已知函数f(x)=(x2-mx-m)ex+2m(m∈R)在x=0处取得极小值,则f(x)的极大值是( )
A.4e-2B.4e2C.e-2D.e2
解析 由题意知,f′(x)=[x2+(2-m)x-2m]ex,
f′(0)=-2m=0,解得m=0,
∴f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex.
令f′(x)>
-2或x>
令f′(x)<
0,解得-2<
x<
则函数f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减,
∴函数f(x)的极大值为f(-2)=4e-2.故选A.
8.设函数f(x)=min(min{a,b}表示a,b中的较小者),则函数f(x)的最大值为( )
A.ln2B.2ln2C.D.
解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞).
由y1=xlnx得y1′=lnx+1,
令y1′=0,解得x=,
∴y1=xlnx在上单调递减,在上单调递增.
由y2=,x>
0得y2′=,
令y2′=0,x>
0,解得x=2,
∴y2=在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,作出示意图如图,
当x=2时,y1=2ln2,y2=.
∵2ln2>
,∴y1=xlnx与y2=的交点在(1,2)内,
∴函数f(x)的最大值为.
9.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有f′(x)+>
0,则对于任意的a,b∈
(0,+∞),当a>
b时,有( )
A.af(a)<
bf(b)B.af(a)>
bf(b)
C.af(b)>
bf(a)D.af(b)<
bf(a)
解析 由f′(x)+>
0,得>
即>
0,即[xf(x)]′x>
0.
∵x>
0,∴[xf(x)]′>
0,即函数y=xf(x)为增函数,
由a,b∈(0,+∞)且a>
b,得af(a)>
bf(b),故选B.
10.(2018·
温州“十五校联合体”联考)已知函数f(x)=2x-e2x(e为自然对数的底数),g(x)=mx+1(m∈R),若对于任意的x1∈[-1,1],总存在x0∈[-1,1],使得g(x0)=f(x1)成立,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞)
B.[1-e2,e2-1]
C.(-∞,e-2-1]∪[1-e-2,+∞)
D.[e-2-1,1-e-2]
解析 ∵f′(x)=2-2e2x,∴f(x)在区间[-1,0]上为增函数,在区间[0,1]上为减函数,
∵f(-1)-f
(1)=(-2-e-2)-(2-e2)=e2-e-2-4>
∴f(-1)>
f
(1),
又f(0)=-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上的值域为
A=[2-e2,-1].
当m>
0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为
B=[-m+1,m+1].
依题意有A⊆B,则有得m≥e2-1.
当m=0时,函数g(x)在区间[-1,1]上的值域为B={1},不符合题意.
当m<
B=[m+1,-m+1].
依题意有A⊆B,则有得m≤1-e2.
综上,实数m的取值范围为(-∞,1-e2]∪[e2-1,+∞).
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)
11.已知直线y=kx与函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数)的图象相切,则实数k的值为________;
切点坐标为________.
答案 e (1,e)
解析 设切点坐标为(x,y),需满足
所以解得x=1,y=e,k=e,
所以k=e,切点坐标为(1,e).
12.设函数f(x)=xlnx,则点(1,0)处的切线方程是________________;
函数f(x)=xlnx的最小值为________.
答案 x-y-1=0 -
解析 由题意得f′(x)=1+lnx,
所以f′
(1)=1,
则所求切线方程为x-y-1=0.
由f′(x)=1+lnx<
0得0<
;
由f′(x)=1+lnx>
0得x>
,
所以函数f(x)=xlnx在上单调递减,在上单调递增,
所以函数f(x)=xlnx在x=处取得最小值,最小值为f=ln=-.
13.(2018·
宁波九校期末)函数f(x)=x3-2x+ex-e-x是________函数(填“奇”或“偶”),在R上的增减性为________.(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”)
答案 奇 单调递增
解析 ∵函数f(x)=x3-2x+ex-e-x,
∴它的定义域为R,
且满足f(-x)=-x3+2x+e-x-ex=-f(x),
故函数f(x)为奇函数.
由于函数的导数f′(x)=3x2-2+(ex+e-x)≥3x2-2+2=3x2≥0,
故函数在R上单调递增.
14.(2018·
诸暨检测)已知函数f(x)=x3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是________;
函数f(x)在[0,2]内的值域是________.
答案 y=-3x [-2,2]
解析 ∵f(x)=x3-3x,
∴f′(x)=3x2-3,
又∵f(0)=0,f′(0)=-3,
∴函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=-3x.
令f′(x)=3x2-3=0,得x=±
1,
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表.
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
↗
极大值2
↘
极小值-2
∴在[0,1]上,f(x)是减函数,其最小值为f
(1)=-2,最大值为f(0)=0;
在[1,2]上,f(x)是增函数,其最小值为f
(1)=-2,最大值为f
(2)=2.综上,在[0,2]上,f(x)的值域为[-2,2].
15.已知函数f(x)=ln+,g(x)=ex-2,若g(m)=f(n)成立,则n-m的最小值为________.
答案 ln2
解析 令f(n)=g(m)=k(k>
0),
则由ln+=k,解得n=,
由em-2=k,解得m=lnk+2,
则n-m=-lnk-2,
令h(k)=-lnk-2,
则h′(k)=-,
由h′(k)=0得k=,且当k∈时,h′(k)<
0,h(k)单调递减,当k∈时,h′(k)>
0,h(k)单调递增,
则h(k)min=h=ln2,
即n-m的最小值是ln2.
16.设实数λ>
0,若对任意的x∈(0,+∞),不等式eλx-≥0恒成立,则λ的最小值为________.
答案
解析 当x∈(0,1]时,λ>
0,不等式eλx-≥0显然成立,λ可取任意正实数;
当x∈(1,+∞)时,eλx-≥0⇔λeλx≥lnx⇔λx·
eλx≥lnx·
elnx,
设函数f(x)=x·
ex(x>
0),而f′(x)=(x+1)·
ex>
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
那么由λx·
elnx可得λx≥lnx⇔λ≥.
令g(x)=(x>
1),
而g′(x)=,
易知函数g(x)在(1,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
那么g(x)max=g(e)=,则有λ≥.
综上分析可知,λ的最小值为.
17.对于定义在R上的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)在(-∞,x0)和(x0,+∞)上均有零点,则称x0为函数f(x)的一个“折点”.现给出下列四个函数:
①f(x)=3|x-1|+2;
②f(x)=lg|x+2019|;
③f(x)=-x-1;
④f(x)=x2+2mx-1(m∈R).
则存在“折点”的函数是________.(填序号)
答案 ②④
解析 因为f(x)=3|x-1|+2>
2,
所以函数f(x)不存在零点,
所以函数f(x)不存在“折点”;
对于函数f(x)=lg|x+2019|,取x0=-2019,
则函数f(x)在(-∞,-2019)上有零点x=-2020,
在(-2019,+∞)上有零点x=-2018,
所以x0=-2019是函数f(x)=lg|x+2019|的一个“折点”;
对于函数f(x)=-x-1,
则f′(x)=x2-1=(x+1)(x-1).
0,得x>
1或x<
-1;
0,得-1<
所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.
又f(-1)=-<
所以函数f(x)只有一个零点,
所以函数f(x)=-x-1不存在“折点”;
对于函数f(x)=x2+2mx-1=(x+m)2-m2-1,
由于f(-m)=-m2-1≤-1,
结合图象(图略)可知该函数一定有“折点”.
综上,存在“折点”的函数是②④.
三、解答题(本大题
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- 浙江 专版 高考 数学 一轮 复习 单元 检测 导数 及其 应用